23.Векторное произведение векторов. Его св-ва.

Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:1) Его модуль равен где - угол между векторами и .

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

     (25)

или

     (26)

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

4. (распределительное свойство).

24.Выражение векторного произведения через проекции векторов.

Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

     (27)

которую можно записать с помощью определителя

     (28)

Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

 (29) и тогда на основании (4)

     (30)

25.Смешанное произведение векторов и его св-ва.

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Проверка компланарности найти определитель 3-го порядка.

Алгебраические свойства смешанного произведенияъ

1.При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Произведение смешанное через проекции

Пусть каждый вектор задан своими координатами:

а=ахі+аyj+azk

b=bxi+byj+bzk

c=cxi+cyj+czk

26.Объем параллелепипеда и пирамиды с помощью смешанного произведения векторов.

объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторы a , b , c , равен .          Доказательство .     Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28). Рис. 10 . 28 .

Объем пирамиды Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды -- . Так как , то . По   предложению 10.27 получим, что , а .      Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.         Предложение 10 . 30   Пусть в правом ортонормированном базисе i , j , k заданы векторы , , . Тогда ( 10 .9)          Доказательство .     По   предложению 10.25 находим координаты вектора : По   теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор : Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя . По определению , формула ( 10.9 ) доказана.