61.Формула приближенного вычисления ф-и.

Формула для приближенных вычислений и ее геометрический смысл.

Одним из важнейших приложений производной является возможность приближенно вычислять значения функций. Пусть нам дана функция  у = f(x)  и точка  х₀,  значение функции в которой известно:  у₀ = f(x₀).  Мы хотим вычислить приближенно значение функции в точке  х,  близкой к  х₀. Если мы знаем приращение функции    на отрезке    то точное значение  f(x)  получается из    прибавлением     равного  f(x) – Приближенные формулы основаны на замене    другим выражением, которое вычисляется более просто. Замена    на линейную функцию  dy,  т. е. замена приращения функции ее дифференциалом, дает наиболее простые приближенные формулы. При замене выражения приближенным значением используется знак   Основная, наиболее простая формула для приближенных вычислений значения функции может быть записана так:    или, раскрывая более подробно:   Приведем другие виды записи этой приближенной формулы: Геометрически замена     на  dy  означает, что вблизи точки  х  мы вместо функции  y = f(x)  берем линейную функцию, т. е. маленький отрезок графика заменяем касательной. Уравнение касательной к графику функции  у = f(x)  в точке  (х₀, y₀),  где y₀ = f(x₀),  имеет вид     (или     где угловой коэффициент  k  равен значению производной в точке  х₀:  Замена функции  у = f(x)  на линейную функцию  у = у₀ + k(x - х₀)  является первым шагом в построении приближенных формул для вычисления значений функции вблизи некоторой точки.

62.Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Каши.

Теорема Ферма (1601-1665 Франция) Пусть функция y=f(x), непрерывная в некотором замкнутом интервале [x₁, x₂] принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке (кси) этого интервала: x_{1 <} (кси) < x₂ Если в точке (кси) производная функции f(x) существует, то она обязательно равна нулю:

f′(кси)=0

(производная в точке экстремума=0)

Док-во. Пусть функция f(x) принимает в точке ξ свое наибольшее значение; это значит, что f(x)<=f(кси) (*)

для всех x Е [x₁, x₂] (функция непрерывная на интервале обязательно принимает на нем свое наибольшее или наименьшее значение)

Производная f′(кси) равна

f'(кси)=lim(/(delta)x->0)(f(кси+(delta)x)-f(кси))/((delta)x)

 

Геометрический смысл теоремы Ферма

касательная к графику функции в его наивысшей (или наинизшей) точке параллельна оси абсцисс.

Почти непосредственным следствием теоремы Ферма является теорема Ролля.

Теорема Роля (1652-1719 Франция). Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [x₁, x₂], дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах интервала равные значе­ния, то внутри этого интервала существует хотя бы одно значение x=(кси), для которого f’(кси)=0

Доказательство. if на концах интервала значения функции равны между собой, f(x(/1))=f(x(/2)), то возможны два случая.

1) Внутри интервала функция вовсе не изменяется и везде f(x)=f(x(/1))=f(x(/2)); тогда ее производная равна нулю при всех значениях х.

2) Если функция изменяется, то, будучи непрерывной в замк­нутом интервале, она принимает свое наибольшее и наименьшее значения, причем хотя бы одно из этих значений прини­мается ею внутри интервала [x1,x2] Действительно, если бы наибольшее и наименьшее значения принимались на концах ин­тервала, то по условию теоремы они были бы равны и функция была бы постоянной. На рис. 64 изображен случай, когда функция принимает наибольшее значение внутри интервала в точке (кси).

По условию теоремы производная существует во всех внут­ренних точках интервала, а значит, и в точке, где функция при­нимает свое наибольшее или наименьшее значение. По теореме Ферма производная в такой точке равна нулю, а это как раз то, что и требовалось доказать.

Геометрическое истолкование теоремы Ролля таково:

На дуге линии y=f(x) между ее концами А и В найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис. 64). Если f(x(/1))=f(x(/2))=0|, то теорему можно формулировать так: Между всякими двумя нулями функции лежит хотя бы один нуль ее производной.

Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

Рис. 2.1

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.