19.Длина вектора, расстояние между точками.

Расстояние между двумя точками      Даны точки А (x_A, y_A) и В (x_В, y_В). Расстояние между ними найдем, как длину вектора  = (x_В – x_А, y_B - y_A). Из скалярного произведения имеем . Подсчитав скалярное произведение через координаты вектора , получаем расстояние между двумя точками      .                                  (1)

20.Угол между двумя векторами. Направление косинуса (cos) вектора.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задан вектор . Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора.

Найдем выражение для направляющих косинусов вектора.

Пусть вектор задан в координатной форме .

Тогда , откуда .

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

21.Условие параллельности и перпендикулярности векторов.

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.

22.Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть L – произвольная прямая,  – её произвольные точки, причем . Говорят, что точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении , если .

Замечание. Из определения следует, что точки С и В не могут совпадать, ибо в противном случае, т.е. если , то , откуда следует, что , что противоречит предположению .

   Далее, число . Действительно, если , то , откуда следует, что  и опять приходим к противоречию.

   Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ:

1) Точка С находится на отрезке АВ:

                     А               С             В                         L

                                                                рис.16.

2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)

                     С               В             А                          L

              рис.17.

Определение. Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок внутренним образом, в противном случае говорят, что точка С делит отрезок внешним образом.

Обозначение. Если  есть отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, то будем писать:

                                           .

Теорема. (О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.) Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:

                                     ,                                   (9)

где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом и знак минус в противном случае.

   Доказательство. Из определения следует, что , откуда, в свою очередь, по определению умножения вектора на число . Отсюда следует, что .

   Далее, если точка С делит отрезок АВ внутренним образом, то она лежит на отрезке АВ и , т.е. число . В противном случае  и , ч.т.д. Теорема доказана.

Теорема. (О делении отрезка точкой на числовой оси.)

Пусть  – точки координатной оси Ох и точка С делит отрезок АВ в отношении , причем, . Тогда:

1) ;                                                         (10)

2) .                                                   (11)

Доказательство. 1) Обозначим для простоты: . По определению, . Из следствия о декартовых координатах векторов оси получаем равенство , откуда следует . Применяя теорему о вычислении декартовой координаты вектора оси, получаем , ч.т.д.

2) Достаточно выразить  из равенства (10).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда

                                .                                   (12)

Доказательство. В этом случае точка С делит отрезок АВ внутренним образом и . По формуле (9) получаем, что . Подставляя в формулу (11), получаем формулу (12), ч.т.д. /Следствие доказано.