16.Определение проекция вектора.

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка A'B', заключенного между проекциями конца и начала вектора на эту ось. Этой длине приписывается знак плюс, если направление отрезка A'B' совпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Проекция вектора на ось обозначается через a_l или , а угол между осью и вектором будем обозначать так: . Таким образом,

     (2)

Если - углы, образованные вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора на координатные оси будут равны

     (3)

В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

     (4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).

Если векторы и равны, то равны и их проекции:

a_1x = a_2x; a_1y = a_2y; a_1z = a_2z.     (5)

Если для вектора известны координаты его начала A(x₁, y₁, z₁) и координаты его конца B(x₂, y₂, z₂), то проекции вектора на координатные оси определяются по формулам

a_x = x₂ - x₁; a_y = y₂ - y₁; a_z = z₂ - z₁,     (6)

а модуль вектора в этом случае определится по формуле

     (7)

Очевидно, что по формуле (7) следует вычислять и расстояние между точками A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂).

13. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось.

Из векторного равенства

     (8)

следуют такие три скалярные равенства:

a_x = a_1x + a_2x + a_3x + ... + a_nx;           a_y = a_1y + a_2y + a_3y + ... + a_ny;     (9) a_z = a_1z + a_2z + a_3z + ... + a_nz.          

17.Теоремы о проекциях векторов.

Т1. Проекция суммы векторов на некоторую числовую ось = сумме их проекций на ту же самую числовую ось.

18.Скалярное произведение векторов. Его св-ва.

Определение.

Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Пр_аb=|b|×COS<α

Свойства скалярного произведения :

1. Переместительное свойство (комутативность):

2. Распределительное свойство(дистрибутивность):

3. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора:

4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения (ассоциативность):

5. Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно скалярному произведению такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор:

где λ и μ - числа.

Геометрические св-ва:

6. ; =±| |

7. = |a|²

6)

Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть . Так как , то перемножая эти векторы и учитывая соотношения:

и , получаем

Отсюда, обозначая через φ угол между векторами и , будем иметь :