11.Теорема Кронекера Капелли. (о совместности решения сист.)

Теорема

Для совместимости сист. линейных алгебр-х ур-й необходимо что б ранг расширенной матрицы был равен рангу простой матрицы.

\При чем решение является единственным, если ранг расширенной равен рангу обычной матрицы и равен числу неизвестных.

Док-во:

Λ₁ λ₂…λ_n – совокупность решений при которых система существует. Подставим значение х1, х2,..хn всист. Алгебр-х ур-й.

В матрице А вычтем и последнего столбца первый столбец * λ₁ .ю второй столбец вычтем *на λ_2., и н-й * λ_n вычтем из последнего.

Доказано что ранг расширенной матрицы ранг обычной матрицы совпадают значит система совместная.

Достаточность:

Пусть ранг расширенной=рангу матрицы=r

Покажем , что система будет иметь решение, то есть она совместна. Определитель (Д)≠0.

Первые r строк матрици расширенной будут линейно не зависимы, а остальные строки можно будет выразить через ее r строк.

Два случая на практике:

1. R=n, тогда сист состоящая из r ур-й и n неизвестных можно решать по формуле Крамера. Д≠0, система определена и определена.

2. R<n, тогда выбираются первые r ур-й сист; оставляется в левой части первые r неизвестных; остальные неизвестные переносятся в правую часть. правым частям неизвестных можно предавать любые значения.

Система совместна, решений много (неопределена).

Замечание:

(n×n)такую сист можно решать и с помощью ранга, если (r<n), главный определитель =0.

Если ранг расширенной матрицы> ранга матрицы то сист несовместная, решений нет.

12.Однородные сист. Линейных ур-й. Их св-ва.

Однородная сист.- сист у которой все свободные члены нули. (нулевое решение).

r(A~)= r(A) – совместимая сист.

1. r(A~)= r(A) у этой системы есть нулевое решение.

2. Если применить теорему Капелли и если r(A~)= r(A)=n, то сист имеет нулевое решение.

3. Если r(A~)= r(A)<n =>нулевое решение.

Св-ва:

1. Для того что бы однор. сист. Линейных ур-й имела не нулевое решение необходимо что бы ранг матрицы был меньше числа неизвестных;

В частном случае когда (m=n), то r (A)<n равносильно тому , что определитель сист был =0.

2. Для того что однор. сист. (n×n)имела не нулевое решение требуется что б определитель сист. был равен нулю.

3. Если число ур-й в однор. сист. (m) m<n n- число неизвестных, то эта сист. имеет бесчисленное множество решений не нулевых.

13.Метод Гаусса. Решение сист. Линейных алгебраических ур-й этим методом.

применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n , x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

    к ступенчатому виду

          с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

•перестановка строк;

•умножение строки на число, отличное от нуля;

•сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица , последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.