8.Понятие о линейной зависимости и независимости (векторов).

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно.

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при . ПРИМЕР:

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

.2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

9.Теорема о ранге матрицы, ее следствие.

Теорема

Если ранг матрицы=r, то в этой матрице можно найти r линейно зависимых между собой строк, через которые линейно выражаются все ее остальные строки.

Пусть дана матрица (m×n)ранг=r. раз в матрице есть значение ранга, то можно найти максимальный минор r-го порядка, который будет отличный от нуля.

Докажем, что первые r строки данной матрицы будут линейно зависимыми.

Доказательство от противного: предположим, что строка линейно зависима, тогда r-я строка должна выражаться через другую. Пусть e_r- r-я строка.

e_r=λ₁r₁+ λ₂r₂+…+ λ_r-1;er_-1

В определителе (Д) вычтем из r-той строки первую строку умноженную на λ₁,вторую строку умноженною на λ₂ , r_-1 строку, умноженную на λ_r-1 из последней r-й строки. В последней строке определителя получатся все нули.

Пусть выберем параметр К для доказательства второй части теоремы r≤k≤m, выберем l; 1≤l≤n.

Рассмотрим определитель r+1-порядка этот определитель равен нулю для всех значений K и l, если l≤r, то в этом определители два одинаковых столбца; если l>r, то минор r+1 порядка равен нулю.

Следствие:

1. Максимальное число линейно зависимых столбцов в матрице = числу линейно зависимых строк.

2. Чтобы определитель был =0 необходимо чтоб его строки(столбцы) были линейно зависимыми.

10.Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

  Элементарные преобразования матрицы

     Элементарными преобразованиями матрицы называют:

     1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;

     2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;

     3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).      Вычисление обратной матрицы

     Если с помощью элементарных преобразований строк квадратную матрицу A можно привести к единичной матрице E, то при таких же элементарных преобразованиях над матрицей E получим .