57.Вывод формулы производной от элементарных ф-й.(в тетради)

58.Дифференцирование ф-й заданных неявно и параметрически.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

<< Пример 21.1

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть 

Найти у'_х.

Решение: Имеем   x'_t=3t²,   y'_t=2t.   Следовательно,   у'_х=2t/t²,   т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно,   Тогда   Отсюда т. е.

59.Дифференциал ф-и. Ее геометрический смысл. Св-ва. Таблица дифференциалов.

Пусть функция  определена на промежутке  и дифференцируема в окрестности точки ,тогда  или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где  - бесконечно малая величина при . Отсюда:

.          ( 7.1)

Таким образом, приращение функции  состоит из двух слагаемых:

1)  - линейного относительно , т.к. ;

2)  - нелинейного относительно , т.к. .

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно  часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.       Пример. Найти приращение функции  при  и :Решение. ,

Пример. Найти дифференциал функции .Решение. По формуле (7.2.) имеем .Определение. Дифференциал независимой переменной  равен приращению этой переменной:

          ( 7.3)

Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:

                  ( 7.4)

Откуда , поэтому  можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем  и знаменателем .

Геометрический смысл. На графике функции  (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу  приращение , тогда функция получает приращение . В точке  проведем касательную, образующую угол  с осью . Из треугольника : . Из  имеем: . Таким образом,  и соответствует формуле (7.1).

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции  в данной точке, когда  получает приращение .