52. Определение непрерывности ф-и в точке. Классификация точек разрыва.

Определение непрерывности функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть . Следствие. ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ. Пример .Доказать непрерывность функции в точке .

Определение устранимого разрыва первого рода. В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть . Пример. Найти точки разрыва функции и определить их тип . Решение. Найдем область определения функции: Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть . Проверим функцию на непрерывность в этой точке. На области определения выражение можно упростить: Находим пределы слева и справа. Так как функция непрерывна при любом действительном х, то Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция в точке не определена, поэтому, в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода. Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции). В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку в этом случае называют точкой скачка функции. Пример. Исследовать кусочно-непрерывную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж. Решение. Разрывы могут быть лишь в точках или . Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках. Слева от точки наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции . В самой точке наша функция есть , поэтому . На промежутке наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции В точке наша функция есть , поэтому . Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции В итоге имеем: следовательно, в точке исходная кусочная функция непрерывна, , то есть , следовательно, в точке неустранимый разрыв первого рода (скачок). Графическая иллюстрация. Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв). В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен. Пример. Исследовать функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж. Решение. Областю определения функции является интервал . Найдем пределы функции слева и справа от точки . Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к слева. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, . Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к справа. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

53.Св-ва ф-и непрерывной ф точке.

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ;     (1)

2) для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀);

3) или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0;

4) такое, что

или, что то же самое,

f: ]x₀ - δ, x₀ + δ[ → ]f(x₀) - ε, f(x₀) + ε[.

Из определения непрерывности функции f в точке x₀ следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Св-ва ф-и.

Т1. Алгебраическая сумма непрерывных в т. Х0 ф-и будет являться непрерывной ф-й в т. Х0

Т2 произведение непрерывных в т Х0 ф-й, есть ф-я непрерывная в той же точке Х0

Т3 частное непрерывных в т Х0 ф-й есть ф-я непрерывная в этой точке х0, если длительность этой точки не обращается в ноль.

Т4 если ф-я в т х0 непрерывна, то эта ф-я ограничена в достаточно малой окрестности точке Х0

Т5 если ф-я непрерывна в точке Х0 и в достаточно малой окрестности т. Х0 сохраняет знак ф-и, то ф-я не равна нулю

54.Св-ва ф-и непрерывных на отрезках

Ф-я называеться непрерывной на (а,в), если эта ф-я непрерывна в каждой точке данного интервала(на концах его интервала она может быть разрывной).

Непрерывность ф-и в точке оказывает существенное влияние на поведение ф-и в окресности этой точки. ф-я непрерывна на отрезке [a,b], если эта ф-я непрерывна в каждой точке это отрезка имеет правостороннюю непрерывность в левом конце отрезка в т.х=а и левостороннюю непрерывность в т.х=в

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Т еорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b Э та теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.