45.Модуль действительного числа. Его св-ва.

Понятие функции одной переменной

 Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении:  , где  - путь, - время,  - параметр.

Определение. Если каждому элементу  множества  ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция .

При этом  называется независимой переменной  (или аргументом),  - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество  называется областью определения (или существования) функции, а множество  - областью значений функции.

Если множество  специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция  вообще имеет смысл.

Способы задания функций:

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике.

Например, функция  задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция  имеет два аналитических выражения:  (при ) и (при ).

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента  и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов,  гармонические функции и т.д.

, , .

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек  плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если - иррационально.

 Множество X называется областью определения функции, а множество Y - объектов, соответствующих всем элементам множества X, - областью значений функции.

46. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

  (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого  существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если .

47.Определение предела ф-и в точке. Геометрический смысл предела.

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х_о, кроме, быть может, самой точки х_о.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x₀ (или при х® х_о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n є N (x_n¹x₀), сходящейся к х_опоследовательность соответствующих значений функции ƒ(х_n), n є N, сходится к числу А

В этом случае пишут        или ƒ(х)—>А при х→х_о. Геометрический смысл предела функции:  означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_о, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).

Число А называется пределом функции в точке х_о (или при х→х_о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹х_о, удовлетворяющих неравенству |х-х_о|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех х¹хо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).