37.Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

38.Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Совокупность всех пл-й, проходящих через одну и туже прямую- пучек пл-й, а данная прямая – ось аучка. Если известны две пл-ти, которые пересекаются по прямой линии, то можно найти весь пучек пл-ти. α,β≠0. A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0 – уравнение пучка пл-й.

39.Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Пусть заданы а пространстве два ур-я линии каноническими ур-ми

1. 

2. .

Каноноческое ур-е прямой в пространстве определяется направляющим и его проекциями l,m,n- направляющие коэффициенты прямой. Один или два коэф-а могу быть равны нулю.

Угол между двумя прямыми в пространстве

где {l₁,m₁,n₁} и {l₂,m₂,n₂} - направляющие вектора прямых.

Условие параллельности

Условие перпендикулярности

   l₁ l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₂ = 0

40.Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Р ассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

41.Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

42.Вывод ур-й кривых 2-го порядка. (окружность, эллипс, гипербола, парабола)

Кривые второго порядка – это линии ур-я которых в декартовой сист координат являються квадратными.

Общее ур-е имеет вид:

, рассматривается произведение .

Если , то эллипс;

Если , то гипербола;

Если , то парабола.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r², (каноническое ур-е ок-ти)

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

x=a* ; y=a* t(0;2π)- ур-е эллипса в параметрической форме.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

О бозначим фокусы через F₁ и F₂ расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a. По определению 2a < 2с, т. е. a < c.

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат  так, чтобы фокусы F₁ и F₂  лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂ (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты  и

Пусть  — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы  или , т.е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

                         (11.9)

Гипербола есть линия второго порядкравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Сле­довательно, гипербола симметрична относительно осей  и , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2.  Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив   в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью :  и . Положив  в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки  и  называются вершинами гиперболы, а отрезок

действительной осью, отрезок  — действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки  и  называется мнимой осью, число b  -  мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3.  Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое  не меньше единицы  т. е. что  или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой  (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой  (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда  возрастает, то и  воз­растает. Это следует из того,  что разность  сохраняет   постоянное   значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

.

эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y² = 2px.     (*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы (*) . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

Эксцентриситет параболы e = 1.

y² = 2px (p > 0)