32.Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р. Прямая заданна нормальным ур-е прямой

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой.

Пусть ОМ вектор= x1i+x1y;

ON вектор нормали= p*n

Вектор n=

d=|PM

|

Левую и правую сторону умножим на вектор n.

±d=

33.Ур-е плоскости в пространстве.

1. возьмем декартовую сист. Координат.

2. рассмотрим произвольную точку М0(х0, у0,z0)

3. в ектор N (A,B,C)

4. Возьмем внутри т.М(X,Y,Z)

5. Проведем ММ0

6. Запишем условие перпенлик. Вектора MM0, N=0;

N=Ai+Bj+Ck

-Ax0-By0-Cz0=D

Опр: Любое линейное уравнение от 3-х переменных определяет пл-ть в пространстве и обратно. - общее ур-е пл-ти в пространстве

-пл-ть проходит через начало координат

34.Исследование общего ур-я плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

35.Ур-е плоскости в различных видах: в отрезках, через три точки, нормальное ур-е плоскости. Угол между двумя плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

            Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

            Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

            Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы  были компланарны.

( ) = 0

Таким образом,              

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости в отрезках 

            Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

 

            Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Нормальное уравнение плоскости.

-нормальное ур-е пл-ти

p - расстояние от начала координат до плоскости.

У гол между плоскостями.

36.Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей.

;

Условие перпендикулярности двух плоскостей.

; ;