3.4 Система масового обслуговування з обмеженою довжиною черги

СМО з обмеженою довжиною черги - це така система, в якій вимоги, що потрапляють на обслуговування, залишають систему, якщо зайняті всі канали обслуговування, і в накопичувані зайняті всі-місця.

Ймовірності станів знаходять за формулами

Ймовірності станів визначаються за допомогою формули

де - максимальна довжина черги. Ймовірність Р₀ знаходять за формулою

У більшості практичних задач має виконуватися співвідношення тоді вираз для Р_д можна переписати в такому вигляді

Ймовірність відмови в обслуговуванні визначається з виразу

Середня кількість каналів, зайнятих в обслуговуванні, і коефіцієнт зайнятості визначають:

Середня кількість вільних апаратів і коефіцієнт простою визначають так: Середня довжина черги визначається за допомогою виразу

Приклад. На автозаправній станції установлені три колонки для подачі бензину. Біля станції знаходиться майданчик на три машини для їх очікування в черзі. На станцію приїжджає в середньому дві машини за хвилину. Середній час заправки однієї машини 1хв. Потрібно визначити ймовірність відмови і середню довжину черги.

Маємо: ' Знаходимо:

, тоді

Отже, машини.

3.5 Система масового обслуговування з очікуванням

СМО з очікуванням аналогічна системі масового обслуговування з обмеженою довжиною черги за умови, що межа черги рухається в безкінечність.

Ймовірність станів СМО з очікуванням знаходять за формулами:

При спостерігається явище «вибуху» - необмежений ріст

середньої довжини чевги, тому для визначення Р₀ має виконуватися обмежуюча умова та з урахуванням її запишемо вираз:

До головних характеристик якості обслуговування СМО з очікуванням відносять:

Ймовірність наявності черги Р_чер, тобто ймовірність того, що кількість вимог в системі більиіе кількості вузлів:

Ймовірність зайнятості всіх вузлів системи Р_шіт:

Середня кількість вимог в системі М_тш:

Середня довжина черги М_чер:

Середня кількість вільних каналів обслуговування М_віпн:

Середня кількість зайнятих каналів обслуговування М_тіш:

Коефіцієнт простою К₀ і коефіцієнт зайнятості К, каналів обслуговування системи:

Середній час очікування початку обслуговування Т_оч для вимог, які надійшли в систему:

Загальний час, який проводять в черзі всі вимоги, що надходять в систему за одиницю часу Т_10Ч:

Середній час Т_сМШ, який вимога проводить в системі обслуговування:

Сумарний час. який в середньому проводять в системі всі вимоги, що надходять за одиницю часу Т_сд,_ш.

Приклад. У порту є дві пристані для розвантаження вантажних судів, інтенсивність потоку суден рівна 0,8 суден на добу. Середній час розгрузки одного судна становить дві доби. Вважається, що черга очікування розгрузки суден може бути необмеженої довжини.

Знайти середній час перебування судна в порту.

Маємо:

Знаходимо:

Маємо

3.6 Система масового обслуговування 3 обмеженим часом очікування

У системах масового обслуговування з обмеженим часом очікування час очікування в черзі кожної вимоги обмежено випадковою величиною

середнє значення якого

Величина, обернена середньому часу очікування, означає середню кількість вимог, які залишають чергу за одиницю часу, викликану появою в

черзі однієї вимоги:

За наявності в черзі k вимог інтенсивність потоку, що залишають чергу вимог, становить

Для подальшого розгляду СМО з обмеженим часом очікування введемо

новий параметр , що позначає середню кількість вимог, які залишають

систему не обслугованими, що приходяться на середню швидкість обслуговування вимог.

Формули для визначення ймовірності станів такої системи мають вигляд:

- добуток співмножників Ймовірність Р₀ визначають за формулою

У практичних задачах суму безкінечного ряду порахувати досить просто, оскільки члени ряду швидко спадають з зростанням номера. Середня довжина черги:

Ймовірність відмови:

Середня кількість зайнятих каналів обслуговування і коефіцієнт зайнятості:

Середня кількість вільних каналів обслуговування і коефіцієнт простою:

Відносна пропускна здатність

Приклад. На пункті хімчистки знаходиться три апарати для чищення. Інтенсивність потоку відвідувачів ^{осіб за rc}W· Інтенсивність

обслуговування клієнтів одним апаратом особи за годину. Середня

кількість відвідувачів, які залишають чергу, не дочекавшись обслуговування, людина за годину. Знайти абсолютну пропускпункту.

Маємо: Знаходимо:

Ймовірність зайнятості всіх приладів дорівнює Тоді

абсолютну пропускну здатність можна отримати як добуток: . Отже, А ⁼ 2,01 людини за годину.