3.1 Класифікація систем масового обслуговування

Більшість задач на залізничному транспорті пов'язані з системами масового обслуговування (СМО).

Системи у яких з одного боку, виникають масові запити (вимоги^ на виконання будь-яких видів послуг, а, з іншого боку, відбувається задоволення

Система масового обслуговування включає такі елементи: джерело вимог, вхідний потік вимог, чергу, обслуговуючий пристрій (обслуговуючий апарат, канал обслуговування), вихідний потік вимог.

Системи масового обслуговування класифікують за різними ознаками. Одною з ознак є очікування вимоги початку обслуговування. Відповідно до цієї ознаки системи діляться на такі види:

1) системи масового обслуговування з втратами (відмовами);

2) системи масового обслуговування з очікуванням;

3) системи масового обслуговування з обмеженою довжиною черги;

4) системи масового обслуговування з обмеженим часом очікування. Системи масового обслуговування, у яких вимоги, що надходять у

момент, коли всі прилади обслуговування зайняті, одержують відмову і губляться, називаються системами з втратами чи відмовами.

Системи масового обслуговування, у яких можлива поява скільки завгодно довгої черги вимог до обслуговуючого пристрою, називаються системами з очікуванням.

Системи масового обслуговування, що допускають чергу, але мають обмежену кількість місць, називаються системами з обмеженою довжиною черги.

Системи масового обслуговування, що допускають чергу, але мають обмежений термін перебування кожної вимоги, називаються системами з обмеженим часом очікування.

За кількістю каналів обслуговування СМО поділяються на одноканальні та багатоканальні.

За місцем перебування джерела вимог СМО поділяються на розімкнуті,

. коли джерело знаходиться поза системою, і замкнуті, коли джерело

знаходиться в самій системі. До останнього виду відноситься, наприклад,

верстатна ділянка, в якій верстати є джерелом несправностей, а отже, і вимог на

їхнє обслуговування.

Однією з форм класифікації систем масового обслуговування є кодова (символьна) класифікація Д. Кендалла. При цій класифікації характеристику системи записують у вигляді трьох, чотирьох чи п'яти символів, наприклад де А - тип розподілу вхідного потоку вимог, У - тип розподілу часу обслуговування, - кількість каналів обслуговування.

Для експонентного розподілу приймають символ М, для кожного (довільного) розподілу - символ Запис Μ | Μ | 3 означає, що вхідний потік

вимог пуаесонівський (найпростіший), час обслуговування розподілений за експонентним законом, система мас три канали обслуговування.

Четвертий символ вказує припустиму довжину черги, а п'ятий — порядок добору (пріоритету^ вимог.

3.2 Рівняння Колмогорова для ймовірностей станів

Системи, що зображуються у вигляді неперервного ланцюга Маркова, звичайно досліджують за допомогою рівняння і\.олмогорова для ймовірностей станів.

Щільністю ймовірності переходу із стан) у стан називається межа

відношення ймовірності цього переходу за час до довжини проміжку коли останній прагне до нуля:

де ймовірність того, що система, що знаходилася в момент t у

стані за час перейде-в стан

Неперервний ланцюг Маркова називається однорідним, якщо щільність ймовірностей не залежить від часу , у протилежному випадку він

називається неоднорідним.

Для однорідних марковських неперервних ланцюгів, що характеризують процеси загибелі і розмноження, рівняння Колмогорова мають вигляд:

де - ймовірність стану коли в системі знаходиться вимог у

момент часу - загальна кількість можливих станів

При гіпотезі про стаціонарний режим роботи системи (ймовірності станів не залежать від часу) рівняння Колмогорова приймають вигляд:

У більшості практичних задач виявляється допустимою гіпотеза про стацюкарний режим роботи системи. Тому можна використати рівняння - Колмогорова другого вид)·.

Математичні моделі систем масового обслуговування що приводяться нижче, відповідають рівнянням Колмогорова для стаціонарного режиму роботи системи за умовами найпростішого потоку вхідних вимог і експонентного закону розподілу часу обслуговування.

3.3 Система масового обслуговування ї відмовами

СМО з відмовами - це така система, у якій прийняті для обслуговування вимоги, у випадку зайнятості всіх каналів обслуговування, відразу залишають її. Ймовірності станів системи визначаються з виразу

де -загальна кількість каналів; -навантаження; -

інтенсивність вхідного потоку вимог, - інтенсивність (продуктивність) одного каналу (приладу) обслуговування, а ймовірність відсутності вимог Р₀

визначається з вираз;

До основних характеристик якості обслуговування розглянутої СМО відносяться:

ймовірність відмови

середня кількість зайнятих вузлів обслуговування середня кількість вільних вузлів обслуговування У системах з відмовами події відмови та обслуговування складають повну групу подій, звідси

Відносна пропускна здатність визначається за формулою

Абсолютна пропускна здатність СМО з відмовами дорівнює

Коефіцієнт зайнятості вузлів обслуговування визначається відношенням середньої кількість зайнятих каналів до загальної кількості, каналів

Приклад. В обчислювальний центр колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють усі три ЕОМ. то замовлення, що надходить знову, не приймається, і підприємство змушене звернутися в інший оочислювалБНим .центр, ічехаи середній час роботи з одним замовленням сюїадає три години. Інтенсивність потоку заявок 0,25 г . Знайти ймовірність відмови і середню кількість зайнятих ЕОМ.

Маємо: Знаходимо:

Таким чином,