24. Модель, пгр, стационарное решение и распределение времени ожидания в системах с ограниченной очередью

1. Модель.

Исходные данные

Входящий поток – простейший с параметром лямбда; время обслуживания – по показ.закону с парам. Бетта; - количество линий, - максимально допустимый размер очереди

Если в момент поступления вызова существует свободная линия – вызов приступает к разговору, если все линии заняты, то

• вызов остается в СО, если длина очереди

• вызов получает отказ, если длина очереди

_{при m=0 система становится системой с отказом; при m=бесконечность система становится системой с ожиданием}

Пример – система с ограниченным числом мест ожидания (зал ожидания)

СОЧ относится к классу смешанных СО (есть и время обслуживания, и время ожидания)

Состояние СО ; Всего (n+m+1) состояний ; =k означает:

1. - k линий заняты (k вызовов на обслуживании), значит (n-k) свободны

2. - заняты все n линий (n вызовов на обслуживании) и имеется очередь=(k-n)

2. ПГР

Утверждение: в случае СОЧ случайный процесс является Марковским ПГР с параметрами ;

Док-во: То же, что и для СОЖ

1. – Марковский по теореме (входящий поток простейший, а время обслуживания распределено по показательному закону)

2. – ПГР

   • 

   • 

   • _{у лямбда добавить множитель тао}

3. Стационарное решение

- те же, что и для СОЖ, значит через . (**)

- другое - ?

конечен. | -первый член прогрессии, q – знам-ль, . подставляя в (**), получаем (m+1 – число слагаемых).

4. Распределение времени ожидания

Сохраняем обозначения и рассужд в случае сож. => получаем

- длина очереди освобождений линий

поток освобождений (простейший) = ( – сумма геометрической прогрессии).

25.Показатели эффективности соч

1. Вероятность отказа

_{во втором делении на r!, r! заменяется на n!}

Вероятность того, что вызов будет обслужен - коэффициент обслуживания (средняя доля обслуженных). Расщепление входящего потока:

2 исхода

Потоки отказов обслуженных вызовов являются простейшими с параметрами λ и λ соответственно (из свойства раси..) простейшие потоки).

Замечание: m=0: ;

2. Среднее число занятых линий - число занятых линий

С остояния СО: 0, 1, …, n-1, n, n+1, …, n+m

: 0, 1, …, n-1, n

Вероятности: , , …, ,

А)При m=0 - СОТ =>

При m=бесконечное – СОЖ E = альфа. Замечание.

Интерпретация E

Б) = [интенсивность обслуженных вызовов]:[интенсивность обслуживания на любой линии]

=[ср число обслуженных за единицу времени]* =:[среднее число обслуженных вызовов за ]

3. 

Способ 1: (используя стационарное решение - )

Состояния СО: 0, 1, …, n-1, n, n+1, …, n+m

Y: ((0, 1, …, n-1) – 0;; (n, n+1, …, n+m-1) >0;; (n+m) – 0)

= =

Способ 2: (используя функцию распределения)

Замечания:

А) m=0 - СОТ: =0 ~ =1

Б) m= П= для СОЖ.

4. Вероятность полной загрузки. (Вероятность того, что все линии заняты).

Пусть (полная загрузка) π=П+ = =(геометрическая прогрессия)=

Смежный показатель – вероятность того, что есть свободная линия (вероятность немедленного обслуживания).

_{Входящий поток расщепляется на: 1. Поток с отказом 2. Поток обслуж. : 2.1. очередь 2.2.немедленное обслуж}

5. Среднее время ожидания обслуживания.

= = ( ) в соответствии с площадью под кривой Пуассона) =

6. Среднее время пребывания вызова в СО

6. Средняя длина очереди:

С остояния СО: 0, 1, …, n-1,n n+1, …, n+m

: 0 1…m

Вероятности: ,…

6. Среднее число вызовов в СО