7 Апериодич. Звено I-го порядка

a₁*(dY/dt)+ a₀Y = b₀Х . Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для того, чтобы определять свойства звена по величине его параметров, уравнение представляется в канонической форме

T*(dY/dt)+Y=K*X или TPY+Y=K*X, где T= a₁/a₀ [c]-пост. врем. Звена, K=b₀/a₀-коэф. передачи звена. В частности, при T  0 получаем безинерционное звено. Получаем: Y/X= Wа(p)=K/TP+1

С истема инвариантная по возмущению.

Y (p)= -W₀₂(р)f+W_кf(р)W_у(р)W₀₁(р)W₀₂(р)f+ W_у(р)W₀₁(р)W₀₂(р)U_з-W_y(р)W₀₁(р)W₀₂(р)Y(p). W_зf(р)=Y(p)/f(p). W_зf(р)=(-W₀₂(р) + W_кf(р)W_у(р) W₀₁(р)W₀₂(р))/(1+ W_у(р)W₀₁(р)W₀₂(р)). Для того чтобы система была инвертивной к возмущению т.е не чувствовало ее, необходимо чтобы W_зf(р)= 0, тогда W_зf(р)=1/W_у(р)W₀₁(р)- условие инвариантности по возмущению. Если структурная схема выглядит чуть иначе т.е

W₀₁(р)=К₀₁/Т₀₁р+1. W_кf(р)=1/W₀₁(р), W_кf(р)=W₀₁(р)^-1 = Т₀₁р+1/К₀₁. С₁=Т₀₁/К₀₁, С₀=1/К₀₁.

Б лагодаря упраждающей связи система становится инвариантной по возмущению, но имеет все те же сложности

реализации инвариантности систем: 1) из-за ограничения по мощности и амплитуде управл. воздействий. Реализация идеально дифф. звеньев невозможно. 2)реально на объект действ. большее число возмущений и для компенсации необходимо каждое измерить и сформировать воздействие. 3) Параметры объекта с течением времени меняются, модель остается постоянной и условие инвариантности нарушаются. В этом случае часто говорят не о полной инвариантности, а о частичной т.е Е≤Е_допf.

8 . Типовые динамические звенья (временные и частотные характеристики, передаточные функции).

При исследов. сложных технич. систем широко применяется принцип декомпозиции т.е разбиение сложного на простые составляющие. Теория управ-я использует разбиение сложных САУ на элементарные звенья назыв. типовыми динамическими звеньями. Типовыми назыв. звенья динамика которых описыв. диф. ур-ми не выше второго порядка. Для описания большинсва реально технических систем достаточно типовых динам. звеньев: Инетгрирующее звено: m=0,n=1,a₀=0. a₁p*Y= b₀x. a₁*(dy/dt)=b₀x/a₁, b₀/a₁=Kи [1/c]-коэф. добротности. 1/Ки=Ти [c], ∫dy=∫К_иxdt, y(t)=Ки∫xdt.

Ω =dα/dt, α=∫Ωdt. W(p)= Zoc/Zвх, Zвх=R, Zвх=1/Cp, Rc=Tи. W(p)=1/Rcp=1/Тиp= Ки/р. П.Х. x(t)=1(t),

y (t)=Ки∫1dt = Ки*t=t/Ти.Ки- коэф. добротности влияет на наклон переход. характеристики. Ти- равно времени за которое входная величина

меняется на1. dy/dt=Ки*х. p*Y= Ки*х. ПФ. W(p)

=Y(p)/X(p)=Ки/p=1/Тир- перед. ф-я

и нтегрирующего звена. АФХ W(jω)=1/jTω=-j* 1/Tω. Видно что АФХ расположена на отриц. мнимой оси.

В ЧХ: P(ω)=0; МЧХ: Q(ω)=-1/Tω; АЧХ: A(ω)= P²+Q² =|Q|, A(ω)=1/Tk*ω=Ки/ω; ФЧХ: φ=arctgQ/P =arctg(-∞)=-П/2. A(ω)=Ки/ω, L(ω)=20lgA(ω)= 20lgКи - 20lgω. L(1)=20lgКи.

Дифф-ое звено

описывается уравнением: a₁*(dY/dt)+ a₀Y = b₁*(dY/dt) или a₁*PY+a₀*Y=b₁*PX, в канонической форме: (TP+1)Y=KPX где T=a₁/a₀, K=b₁/b₀, передат-я ф-я звена Y/X=Wрд(p)=K*P/T*P+1. Реальные дифференцирующие звенья имеют такую передаточную функцию . Очевидно, что чем меньше Т, тем ближе реальное звено по свойствам приближается к идеальному.

Методика синтеза послед. корректи-

рующего звена по желаемым ЛАЧХ.

П усть имеем следующую систему:

Задача –определить параметры корректирующей цепи. Исходя из требований к установившемуся режиму в системе определим W_k1=K₁. если необходимо получить астатическую систему, то W_k1=K₁/p. Вычислим К₁ исходя из требуемой точности скоростн.ошибки и отнесём W_k1 к неизменной части сиcтемы. Дальнейшая последовательность действий: 1) строим асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой части системы W_н(w)=W_k1(p)W_oy(p)W_oc(p), принимая W_k2(p)=1. Обозначают Lд(ω) 2) строим желаемую ЛАЧХ Lж(ω). В низкочастотной области желаемая ЛАЧХ должна обеспечить требуемые параметры в установившемся режиме (статическая точность или добротность). Если уже рассчитали W_k1(p), исходя из этих требований, то низкочастотный участок исходной и желаемой ЛАЧХ совпадут. Среднечастотный участок Lж(ω) выполняется в виде отрезков прямой с наклоном -20дБ/дек через точку w_c. w_c=(1..4)/t_пп., где t_пп- заданная длительность переходного процесса. высокочастотный участок желаемой ЛАХ может совпадать с исходным или проходить параллельно ему. Среднечастотный участок ЛАХ сопрягается с низкочастотным и высокочастотным участками отрезками линий с постепенным изменением наклона –40дБ/дек, –60дБ/дек… При этом ширину среднечастотного участка рекомендуется иметь не менее 1 дек и желательно, чтобы w_c было сдвинуто в правую половину. 3) геометрически определим разность между желаемой и исходной ЛАХ. L_k2(ω)=L(ω)=L_ж(ω)-L_д(ω). Это будет ЛАХ последовательного корректирующего элемента.

9. Инерцион. звено II-го порядка: а) апериод. звено II-го порядка, б) колебат. звено II-го порядка:

описыв. ур-ем a₂*(dY²/dt²)+ a₁*(dY/dt)+ a₀Y = b₀*Х но не выполн. условие а₂р²+ а₁р+ а₀=0, тогда в канонической форме T²P²Y²+ 2ρ*TPY=КХ, где Т

= a₂/a₀ – пост. времени, ρ=а₁/2* а₂ – показ. колебательности,

Для колебательного звена 0<< I. При  > I получается апериодическое звено второго порядка. При  = 0 получаем два чисто мнимых корня, что соответствует передаточной функции так называемого консервативного звена W(p)=K/T²P²+1 в) консерват. колебат. звено.

Интегральные показатели качества переходных процессов, их достоинства и недостатки.

I ₁=₀^ (t)dt- простейший интегральный критерий.

О ни отлич. на коэфф. датчика обратной связи. Чем быстрее протекает переходный процесс, тем меньше интеграл I₁.Неудобства в интегральной оценке I₁ , в том что она пригодна только для монотонных процессов при сильной колебательности площади суммируются алгебраически и минимум этого интеграла может соотв-ть колебаниям с малым затуханиям.

2.) I₂=₀^ ²(t)dt Здесь интеграл будет тем меньше чем меньше площадь под кривой E² и не будет зависеть от знака отклонения. Недостаток: нередко минимум I₂ достигается при параметрах системы привод. сильные колебания. Улучшенная квадрат. интегр-я оценка: I₃=₀^ (²(t)+ Т²(d/dt)²)dt. Достоинства: а) с помощью одного показателя мы оцениваем качества всего переходного процесса. Тот процесс лучше, у которого меньше интегральная оценка. б) интегральные принципы позволяют аналитически определить оптимальные параметры. В смысле достижения min интегральной оценки. в) некоторые виды интегральныз оценок позволяют определить и структуру устр-ва и их оптимальные параметры. Задача АКОР.

1 0. 1) Безинерц. усилит. звено: m=0, n=0 (b₁=0, a₂= a₃=0). a₀Y(t)=b₀X(t). Выходной сигнал пов-яет без искажения по ф-ме и без сдвига по времени входной сигнал

у(t)=(b₀/a₀)*x(t), b₀/a₀=k[^{ед.изм.вых}/_{ед.изм.вх.}];

x(t)=1(t), h(t)=k*1(t)

OФ: Y(p)=kX(p);

ПФ: W(p)=Y(p)/X(p)=k;

АФХ: W(jω)=k;

ВЧХ: P(ω)=k;

МЧХ: Q(ω)=0;

АЧХ: A(ω)= P²+Q² =P

Ф ЧХ: φ(ω)=arctgQ/P=artcg0=0.

АФХ

Звено чистого запаздывания: выходной сигнал звена повтор. вход. без искажения по форме, но с искажением вовремени.

τ=ℓ/υ, y(t)=χ(t-τ),

h(t)=1(t-τ). В

операт. виде:

y(t)=х(t-τ), Y(p)=

X(p)e^-τp. ПФ: W(p) =

Y(p)/X(p)=e^-τp; АФХ: W(iω)=e^-τiω=cosωτ – jsinωτ; ВЧХ: P(ω)=cosωτ; МЧХ:Q(ω)=-sinωτ; АЧХ: A(ω)=

АЧХ

P²+Q² = cos²ωτ+sin²ωτ =1; ФЧХ: φ(ω)=arctgQ/P = arctg –sinωτ/cosωτ = -arctg tgωτ=-ωτ; ЛАЧХ: L(ω)=20lg(ω)=0.

. 2. Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения САУ. Теоремы Ляпунова.

Пусть динамика линейной САУ описыв. ур-ем: [a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀]*Y(p)= [b_mp^m+b_m-1p^m-1 +…+ b₁p+ a₀]*X(p). Применим к системе внешнее воздействие Х(р) т.е выведем ее из равновесия, а затем снимем внешнее воздействие. Это соотв-ет правой части равное 0. [a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀]*Y(p)=0. Это ур-е будет описывать собств. движение системы. В общем случае выходная вел-на Y(p)≠0, тогда a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀=0 – это ур-е характеристическое ур-е. Через корни харак-го ур-я можно представить решения исходного диф. ур-я. Каждому корню будет соотв. составляющая. Рассмотрим влияние корней на переходные процессы в системе: 1) веществ. корень p_i. В решении будет составл. веществ. A_ie^pit. а) p_i>0 =>e_t→∞ ^pit→∞ расход. процесс, система не устойчива; б) p_i<0 =>e_t→∞ ^pit→0 сход. перех. процесс, система устойчива; в) p_i=0 =>Аe^pit=А_i – перех. процесса нет.

2 ) пара комплексно сопряженных корней p_1,2=α_i±jβ_i. Ему в решении будет соотв-ть составл.

вида: c₁e^p1t+c₁e^p2t= A_ie^αit*sin(β_it+φ_i),где e^(α+jβ)t, e^(α-jβ)t, c₁,c₂, A_i, φ_i-постоянная интегрирования. а) α_i>0, тогда e_t→∞ ^αit→∞. Имеем расход. переходный процесс, система будет неустойчива:

б ) α_i<0, тогда e_t→∞ ^αit→0. Этому соотв. график:

в ) α_i=0, p_1,2=±jβ_i, A_isin(β_it+φ_i), этому соотв. график:

г ) α_i=0, β_i=0, c₁+c₁= A_i*sinφ_i=const. Имеем нейтрально устойчивую систему т.е

п ереходного процесса нет:

Вывод: для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы все корни харак-го ур-я имели отрицат. вещественную

часть т.е они распол. в левой плоскости. Реальные системы не линейны и мы их линеаризуем. Теоремы Ляпунова: 1) Если линеариз. система автомат. управл-я устойчива, то не какие из отображенных при линеаризации корней не могут сделать ее неустойчивой. 2) Если линеар. САУ неустойчива, то никакие из отброшенных корней при линеариз. не могут сделать ее устойчивой 3) Если линеариз. САУ находиться на границе устойчивости, то отброшен. при линеаризации корни могут сделать ее как устойчивой так и нет.