7.Первый и второй замечательный предел
1
)
Доказательство:
По теореме о пределах функции получаем, что
2)
Доказательство:
(
)
Сначала докажем, что
Имеем:
Перейдём к неравенству:
Рассмотрим
переменную
и применим к
формулу бинома Ньютона
Перейдём
от
к
,
тогда в выражении появится ещё одно
положительное слагаемое, при этом
разности в скобках вида (1 - -
)
заменятся разностями вида (1 - -
),
то есть заменятся большим выражением,
при этом (1 - -
)
> (1 - -
).
То есть
>
.
То есть переменная
растает.
Покажем, что при этом – ограниченная сверху:
монотонно
возрастает, ограниченная сверху, то
она имеет конечный предел.
8.Непрерывность функции в точке
Определение (ε, δ):
Функция f называется непрерывной в точке а, если она определена на некотором интервале (c, d), содержащем точку а, и если для любого ε>0 можно найти такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство|f(x)- f(а)|<ε.
Арифметические
действия над непрерывными функциями:
Если f(x) и
g(x) определены
на х и непрерывны в точке
єХ,
то их сумма, разность, произведение и
частное (в последнем случае предполагается
g (х0) ≠ 0) тоже непрерывны
в этой точке.
Доказательство:
Докажем, что частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция.
Так
как f(x) и
g(x)
непрерывные, то по определению
=f(x),
=g(x).
Тогда
=
9.Непрерывность сложной функции
Пусть
функция φ(y) определена
в промежутке Y, а функция
y= f(x)
определена в промежутке Х, при чём
множество значений функции y
входит в область определения функции
φ(y) (тогда имеет место
сложная функция φ[f(x)]).
Имеет место следующее утверждение,
если f(x)
непрерывна в точке х0
єХ, а функция φ(y)
непрерывна в соответствующей точке
( = f(х0)), є Y, тогда сложная функция φ[f(x)] непрерывна в точке х0.
Доказательство:
Так как функция f(x) непрерывна в точке х0
φ(y)-непрерывная в точке , то для ε>0, найдётся такое δ>0, что |y - |< δ следует |φ(y) -φ( )|< ε.
y= f(x)
Так как y= f(x) непрерывна в точке х0, то для ε| >0, например ε|= δ, найдётся такое δ| >0, что |х -х0|< δ|, следует |f(х) - f(х0)|< δ.
Учитывая |y - |< δ и используя |f(х) - f(х0)|< δ запишем неравенство:
|φ(f(х)) -φ(f(х0))|< ε
10)Классификация точек разрыва
Точка х0 называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х0 не является непрерывной. Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы
Пример:
f(x) =
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример:
f(x) =