4.Арифметические действия над пределами переменных
1) Предел постоянной равен постоянной: limC=C
2) Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов, если пределы стоящие в правой части существуют и конечны.
lim( + )=lim +-lim
Действительно,
так как переменные
имеют конечные пределы соответственно
a
и b,
то
a+
,
b+
,
где
и
-бесконечно
малые. Это значит, что a+b-
предел
+
3) Предел произведения равен произведению пределов, если пределы стоящие в правой части существуют и конечны.
lim( * )=lim *lim
Так как переменные
Имеют
конечные пределы соответственно a
и b,
то
a+
,
b+
,
где
и
-бесконечно
малые.
*
=a*b+(b*
+a*
+
).
Значит, что a*b-предел
*
.
4) Постоянную можно выносить за знак предела.
limC =Clim ; Cǂ0
5) Предел частного равен частному пределов, если пределы стоящие в правой части существуют и конечны.
Предположим для определённости, что b>0 ->b, b>r. Значит начиная с какого-то номера N >r>0 и ограничимся теми номерами для которых >0.
Рассмотрим
разность
<
-
=
-
=
=
=
(
-
=
(b
<
– ограниченная
Значит
правая часть бесконечно малая. Значит,
для этой переменной пределом для
.
5.Предельный переход в равенстве и неравенстве
1)
Если
при всех изменениях n,
=
существуют конечные пределы lim
=a,
lim
=b,
то a=b(lim
=
lim
.
Это следует из теоремы о единстве предела.
2)
Если
при любых значениях n,
существуют конечные пределы lim
=a,
lim
=b,
то a>=b.
3)
Если
переменные
удовлетворяют неравенствам
и
существуют конечные пределы lim
=a,
lim
=a,
lim
=a.
Так как lim =a, то по определению для любого ε найдётся номер , что для
n> удовлетворяется неравенство a-ε< <a+ε (1).
Так как lim =a, то для этого ж ε найдётся , что для
n> удовлетворяется неравенство a-ε< <a+ε (2).
Выберем
в качестве N
наибольшее из чисел
тогда неравенства (1), (2) выполняются
одновременно. И тогда можно записать,
что для n>N,
a-ε<
<a+ε;
то для n>N,
a-ε<
<a+ε
6.Предел функции в точке. Теоремы о пределе
Число А называется пределом функции f в точке а, если она определена на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а и если предел последовательности {f( )} существует и равен А, какова бы ни была последовательность { }, сходящаяся к а и такая, что ǂа для всех n.
Геометрическая интерпретация:
Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке x=a ( при x->a), если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа ε>0 найдётся такое δ>0, что как только |x-a|<δ выполняется неравенство|f(x)-A|<ε.
Основные теоремы:
1)
Предел
постоянной равен постоянной:
=
=C
2) Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов, если пределы, стоящие в правой части существуют и конечны:
=
3) Предел произведения (частного) равен произведению (частному)
пределов, если пределы стоящие в правой части существуют и конечны:
=
ǂ0
4) Постоянную можно выносить за знак предела:
=
Cǂ0
5) Если функция f(x)>( >=0)
В некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки и предел f(x)=a, то A>=0.
6) Если в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, этой точки выполняется неравенство f(x)<=φ(x)<=β(x), то
,
то и
