3 Тема: Векторы и координаты.
Пример
1. Вычислить
длину вектора
,
если
Решение.
Сначала найдем координаты вектора;
.
Затем находим его длину:
.
Пример
2. Даны векторы
и
.
Вычислить координаты вектора
.
Решение.
Сначала найдем координаты векторов
,
а затем сложим эти векторы:
.
Пример
3. Вычислить
угол между векторами
и
.
Решение.
Для вычисления угла между векторами
и
воспользуемся приведенной формулой,
но сначала найдем скалярное произведение
векторов, их длины и произведение длин
векторов:
Тогда
Пример 4. Вычислить расстояние между точками М и К, если М(-5; 7) и К(7; -9).
Решение.
Найдем координаты вектора
Теперь найдем его длину:
Пример 5. Даны точки В (-2; 7) и С(10; -23). Найти координаты точек М и N, которые делят отрезок ВС на три равные части.
С
N
M
B
Решение.
Точка N
делит отрезок ВС
(рис.) в
отношении
Тогда
Подставляем в эти формулы координаты
точек В и
С:
т.е.
N(6;
-13).
Точка
М делит отрезок ВN
пополам; значит,
т.е.
М (2; -3).
Пример
6. Даны векторы
и
.
Вычислить скалярное произведение
Решение.
Сначала
найдем координаты векторов
и
:
.
Скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений их одноименных координат:
Пример 7. Доказать, что треугольник с вершинами А(2; 2), В(-1; 6) и С(-5; 3) – прямоугольный.
Решение. Сначала найдем длину каждой стороны треугольника АВС:
Теперь воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора: если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату большей стороны, то этот треугольник прямоугольный и против большей стороны лежит прямой угол.
Так
как
то треугольник АВС
– прямоугольный и величина угла АВС
равна 90о.
Пример 8. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3; 5),
В(1; 7) и точка пересечения диагоналей М(1; 1). Вычислить координаты двух других вершин параллелограмма.
B
C
А D
Решение.
Диагонали параллелограмма АBCD
(рис.) точкой М делятся пополам, т.е. точка
М – середина отрезков AC
и ВD. Имеем:
откуда
откуда
4 Тема: Векторы в пространстве.
Пример
1. Вычислить длину вектора
,
если М(5; -1; -4) и К(2; -5; 8).
Решение.
Сначала найдем координаты вектора:
.
Теперь находим его длину:
.
Пример
2. Даны векторы
и
.
Вычислить координаты вектора
.
Решение.
Сначала найдем координаты векторов
и
,
а затем сложим эти векторы:
Пример
3. Вычислить угол между векторами
и
Решение. Для вычисления угла между векторами и воспользуемся приведенной формулой но сначала найдем скалярное произведение векторов, их длины и произведение длин векторов:
Тогда
Пример 4. Вычислить расстояние между точками А(1; 2; 1) и С(7; 4; -2).
Решение.
Найдем
координаты вектора
или
.
Теперь найдем его длину:
Пример 5. Даны вершины четырехугольника А(1; 2; 3), В(7; 3; 2), С(-3; 0; 6) и D(9; 2; 4). Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
Решение.
Сначала найдем координаты векторов
и
;
Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:
Так как скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны; значит, перпендикулярны и диагонали четырехугольника АВСD.
Пример 6. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А(1; -3; 7) и В(5; 7; -5).
Решение.
Искомую точку обозначим буквой С; так
как она лежит на оси ординат, то ее
координаты (0; у; 0). По условию
,
поэтому найдем каждое из этих расстояний:
Так
как
,
то
и получим уравнение
Точка С(0; «; 0) равноудельна от данных точек А и В.
Пример 7. Даны вершины треугольника А(2; -1; 4), В(3; 2; -6) и С(-5; 0; 2). Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.
В
А D
C
Решение.
Пусть AD
– медиана (рис.) тогда точка D
делит отрезок ВС пополам, Значит,
т.е.
Итак,
D(-1;
1; -2). Теперь
найдем координаты вектора
Его
длина равна
