23. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.

О: Знакопеременным числовым рядом называется ряд который содержит как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующийся ч.р. является частным случаем знакопеременного ч.р. Т. (признак абсолютной сходимости): Если для знакопеременного ч.р. сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов, то ряд сходится. Обозначим

— сумма положительных членов в — сумма абсолютных величин отрицательных членов в Тогда Последовательности частичных сумм возрастают и ограничены, так как поэтому и

Данный ряд по определению сходится. Пример: Исследовать на сходимость ряд Рассмотрим ряд из абсолютных величин который сравним со сходящимся обобщенным гармоническим рядом Так как то по первому признаку сравнения ряд из абсолютных величин сходится, поэтому данный знакопеременный ряд сходится по признаку абсолютной сходимости. Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Например, ряд сходится по признаку Лейбница но ряд из абсолютных величин его членов расходится.. О: Знакопеременный ч.р. называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд и условно сходящимся, если он сходится, хотя ряд расходится.. Например, — абсолютно сходящийся ряд, — условно сходящийся ряд. Деление знакопеременных ч.р. на абсолютно и условно сходящиеся существенно. На абсолютно сходящиеся ч.р. переносятся все основные свойства конечных сумм. Особо важное свойство состоит в том, что сумма абсолютно сходящегося ч.р. не меняется при любой перестановке бесконечного числа его членов. В условно сходящемся ч.р. в результате такой перестановки можно получить расходящийся ряд. Опр: Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Признак Лейбница: Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются оба условия:

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁>u₂….>u_n> .. и предел его общего члена при n ->к бесконечности равен 0, т.е. lim u_n=0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена S<=u₁. Док-во: рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m: S_2m=(u₁-u₂)+(u₃-u₄) +…+(u_2m-1-u_2m). Эта последовательность возрастающая (т.к. с ростом n=2m увеличивается число положительных слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того что S_2m можно представить в виде S_2m = u₁- (u₂-u₃)+(u₄-u₅)+…+(u_2m-2 – u_2m-1) – u_2m, откуда следует, что S_2m <u₁). На основании признака существования предела последовательность S_2m имеет предел lim S_2m =S (m->к беск). Попутно заметим, что переходя к пределу в неравенстве S_2m <u₁ при m->к бесконечности, получим что S<= u₁. теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n=2m+1. Очевидно что, S_2m+1=S_2m + a_2m+1; поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, lim S_2m+1 = lim S_2m + lim a_2m+1 =S+0=S (m->к бесконечности) Итак, при любом n lim Sn=S, т.е. ряд сходится. Для суммы S сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяет условие теоремы Лейбница: при любом m S_2m<=S<=S_2m+1