22. Признаки Даламбера и Коши

Признак Даламбера.

_∞

Пусть для ряда с ∑ u_n с поло­жительными членами

n=1

существует предел отношения (n + 1)-го члена к n-му члену

lim Un+1 / u _n = ɭ

тогда если ɭ <1 то ряд сходится; если ɭ >1 то ряд расходится; если ɭ = 1, то вопрос о

сходимости ряда остается нерешенным.

Из определения предела последовательности следует, что для любого Ɛ > 0

существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство │ (u_n+1 / u_n) ─ ɭ │< Ɛ или ɭ -Ɛ < u_n+1/ u_n < Ɛ + ɭ

1) Пусть ɭ <1. Выберем Ɛ настолько малым, что число q= ɭ + Ɛ <1, т.е u_n+1/ u_n<q или u_n+1<qu_n

Последнее неравенство будет выполняться для всех n > N, т.е. для n = N + 1, N + 2,... : u_N+2 < qu_N+1,

u_N+3< qu_N+2<q²u_N+1,…, u_N+k <qu_N+k-1<…<q^k-1u_N+1

Получили, что члены ряда u_N+2+u_N+3+...+u_N+k+... меньше соответствующих членов геометрического ряда

qu_N+1+ q²u_N+1+…+ q^k-1u_N+1 сходящегося при q <1. Следо­вательно, на основании признака сравнения

этот ряд сходится, а значит сходится и

_∞

рассматриваемый ряд ∑u_n . отличающийся от

n=1

полученного на первые (n + 1) членов.

2) Пусть ɭ >1. Возьмем Ɛ настолько малым, что ɭ - Ɛ>1. Тогда из условия u_n+1/ u_n > ɭ - Ɛ следует,что u_n+1/ u_n >ɭ Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, поэтому предел общего члена не равен нулю, т.е не выполнен необходимый признак сходимости, и ряд расходится.

Признак Коши.

Пусть дан ряд

_∞

∑u_n

n=1

члены которого положительны и не возрастают, т.е.

u₁≥u₂≥…≥u_n≥..

а функция f(x), определенная при x≥l, непрерывная и невозрастающая и

f(1)=u₁ , f(2)=u_{2 , …,} f(n)=u_n (*)

Тогда для сходимости ряда

_∞

∑u_n

n=1

необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

_∞

∫f(x)dx

1

Рассмотрим ряд

_{2 3 n+1}

∫f(x)dx+∫f(x)dx + ∫f(x)dx +… (**)

1 2 n

Его n-й частичной суммой будет S_n=

_{2 3 n+1 n+1}

∫f(x)dx+∫f(x)dx + ∫f(x)dx = ∫f(x)dx (***)

1 2 n 1

сходимость ряда (**) означает существование предела последовательности его частичных сумм (***), т.е. сходимость

несобственного интеграла

_∞

∫f(x)dx

1 Поскольку

_{n+1 ∞}

limS_n=lim∫f(x)dx=∫f(x)dx

^{n→∞ n→∞ 1 1}

В силу монотонности функции

f(x) на любом отрезке [n,n +1]

f(n)≥ f(x)≥f(n+1) или учитывая (*)

u_n≥ f(x)≥ u_n+1 (****)

Интегрируя (****) на отрезке [n,n +1] получим

_{n+1 n+1 n+1}

∫ u_n dx ≥ ∫f(x)dx ≥∫ u_n+1 dx

n n n

откуда

_n+1

u_n≥∫f(x)dx ≥ u_n+1 (*****)

n

Если ряд

_∞

∑u_n

n=1

сходится, то по признаку сравнения рядов в

силу первого неравенства (*****)должен сходиться ряд (**), а

значит и несобственный интеграл

_∞

∫f(x)dx.

n=1

Обратно, если сходится

_∞

∫f(x)dx.

n=1

т.е. ряд (**), то согласно тому же признаку сравнения на основании второго неравенства(*****) будет сходится ряд

_∞

∑u_n+1= u₂ + u₃+_…+ u_n+ u_n+1+_…

n=1

а следовательно, и данный ряд

_∞

∑u_n= u₁ + u₂+ u₃+_…+ u_n … n=1