20. Ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.

Числовым рядом называется бесконечная последо­вательность чисел u₁,u₂,...,u_n,..., соединенных знаком сложения:

_∞

u₁+ и₂+...+и„+...= ∑U_n

ⁿ⁼¹

Ряд считается заданным, если известен его общий член и_n =f(n) (n = 1,2,...), т.е. задана функция f(n) натурального аргумента.

Ряд называется сходящимся, если существует ко­нечный предел последовательности его частичных сумм ( сумма n первых членов ряда S_n), т.е

Lim S_n = S

^{n -»∞}

Число S называется суммой ряда, т.е

_∞

U1 + U2+...+Un+...= ∑U_n = S

n=1

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Cв-ва:

1. Если ряд u₁ + u₂+...+u_n+... схо­дится и имеет сумму S, то и ряд ℓu₁+ ℓu₂+...+ ℓu_n+... (получен­ный умножением данного ряда на число ℓ) также сходится и имеет сумму ℓ S

2. Если ряды u₁ + u₂+...+u_n+... и v₁ + v₂+...+v_n+... сходятся и их суммы соответственно равны S₁ и S₂, то и ряд (u₁+ v₁) + (u₂ + v₂)+. ..+(u_n + v_n)+... (представляющий сумму дан­ных рядов) также сходится, и его сумма равна S₁+ S₂.

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств преде­лов числовых последовательностей.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

Отбросим n членов.

u_n+1+ u_n+2+…+ u_n+m+… имеющий частичную сумму Q_m = u_n+1 + u_n+2+...+u_n+m, также схо­дится.

Очевидно, что S_n+m = S_n + Q_m. Отсюда следует, что при фик­сированном n конечный предел LimS_n+m существует

^m->∞

тогда и только тогда, когда существует конечный предел lim Q_m А это и

^m->∞

означает, что ряд сходится.

4. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточ­но, чтобы при n -»∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы lim r_n = 0.

^{n -»∞}

Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится, то предел его общего члена u_n при n->∞ равен нулю, т.е.

Lim u_n=0

^{n -»∞}

Выразим n-й член ряда через сумму его nи (n -1) членов, т.е. u_n = S_n – S_n-1 т.к ряд сходится, то lim S_n-1 = S Поэтому

^{n -»∞}

lim u_n = lim (S_n – S_n-1) = lim S_n - lim S_n-1 = S -S

^{n -»∞ n -»∞ n -»∞ n -»∞}

= 0.

21. Признаки сравнения неравенством и отношением.

Неравенством.

Теорема. Пусть даны два ряда с положительными членами :

_{∞ ∞}

∑U_n (1) и ∑ V_n (2)

n=1 n=1

причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом п

и_п ≤ V_n (*)

Тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1; б) если рас­ходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Док-во: а)

Пусть частичные суммы рядов 1 и 2 соответственно рав­ны s_n и S_n. По условию ряд 2 сходится, следовательно, сущест­вует lim S_n = S и S_n<= S, так как члены ряда 2

n=1

положительны: Рассмотрим последовательность частичных сумм s_n ряда 1. Эта последовательность является: возрастающей (так как с ростом п увеличивается сумма п положительных слагаемых) и ограничен­ной (так как s_n ≤S_n в силу условия (*) т.е. s_n ≤ Sn ≤ S).

Следовательно, на основании признака существования преде­ла последовательность s_n имеет предел, т.е. ряд 1 схо­дится.

б) Применим метод доказательства от противного. Предполо­жим, что ряд 2 сходится. Тогда согласно первой части теоремы сходится и ряд 1, что противоречит предположению, т.е. ряд 2 расходится.

Замечание. Так как сходимость ряда не изменяется при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие (*) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами п. Достаточно, чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера п = к, или чтобы имело место неравенство и_n≤v_m+n, где т — некоторое целое число.

Отношением.

Теорема . Если _{∞ ∞}

∑U_n и ∑ V_n

n=1 n=1

ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов lim ^u_{n /} ^v_n=k≠0

^{n -»∞}

то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Так как lim ^u_{n /} ^v_n=k то по определению

^{n -»∞}

предела числовой

последовательности для любого Ɛ > 0 существует такой номер N что для всех n > N выполняется неравенство

│u_n/ v_n─k│< Ɛ или │u_n-kv_n │< Ɛv_n откуда (k- Ɛ)v_n < u_n<(k+ Ɛ) v_n

Если ряд _∞

∑v_n

n=1 _∞

сходится, то сходится ряд ∑(k+ε) v_n и в силу

ⁿ⁼¹ _∞

признака сравнения будет сходиться ряд ∑ u_n

_∞ n=1

аналогично, если сходится ряд ∑ u_n то сходится

n=1

_∞

ряд ∑(k- Ɛ)v_n и сходится ряд ∑v_n

n=1 n=1

Таким образом, из сходимости одного ряда следует сходимость другого. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается аналогично.