18 Линейные однородные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Общий вид:

y''+py'+qy=f(x) p,q - константы f(x)=0

y''+py'+qy=0 обозначим ур-е как (*)

______________________________________

Утверждение. y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x)

пусть y₁ и y₂ явл. решениями (*)

тогда их сумма также будет решением (*) y₁+y₂ - решение

Доказательство.

y₁''+py₁'+qy₁=0

+

y₂''+py₂'+qy₂=0

__________

(y₁+y₂)"+p(y₁+y₂)'+q(y₁+y₂)=0

сумма решений - есть решение! чтд

________________________________________________

Утверждение. C*y₁

y₁ - решение => C*y₁ - тоже решение

Доказательство. подставим C*y₁ в (*)

Сy₁''+Сpy₁'+Сqy₁=0

С(y₁''+py₁'+qy₁)=0 C*0=0 чтд

___________________________________________________

Рассмотрим все множество решений диф.ур-я (*). Y - множество решений.

Тогда на множестве всех этих решений определены операции сложения и умножения на число.

(Y; + ; * ) - линейное пространство

проверим аксиомы линейного пространства:

1.y₁+y₂=y₂+y₁

2.(y₁+y₂)+y₃=y₁+(y₂+y₃)

3.O+y₁=y₁

4.если есть y₁ то есть противоположный (-y₁): y₁+(-y₁)=О=0

5.произведения констант на y₁ и y₂ есть Cy₁+Cy₂

С(y₁+y₂)= Cy₁+Cy₂

(С₁+С₂)y₁=C₁y₁+C₂y₁

Вывод:множество решений однородной системы (*) образует линейное пространство. Размерность линейного пространства = порядку диф.ур-я=2 (y") dim Y=2

Найдем базис этого пространства решений. будем искать решение диф.ур-я в виде

y=e^kx y'=ke^kx y"=k²e^kx , подставим в (*)

k²e^kx+pke^kx+qe^kx=0

e^kx (k²+pk+q)=0 , т.к. е~2,7, то

k²+pk+q=0 обозначим как (2)

Ур-е (2) носит характеристический характер для ур-я (*)

Возможные варианты в зависимости от корней:

I) k₁, k₂ - вещественны, различны

k₁, k₂ принадлежат R k₁ k₂

y₁=e^k(один)x и y₂=e ^k(два)x линейно зависимы или нет?нужно чтобы были независимы.

y ₁/y ₂=e ^k(один)x/e ^k(два)x=e^{(k(один)-k(два))x} ƛ =>линейно независимы=>они могут быть взяты за базис

Y=c₁e^k(один)x +c₂e^k(два)x

Пример. y"+y'-2y=0

k²+k-2=0 корни: k₁=1, k₂= -2

Y=c₁e^x +c₂e^-2x

II) k₁, k₂ принадлежат R; k₁=k₂=k

y₁=e^kx y₂=e^kx

y₁/y₂=1 =>решения линейно зависимы,за базис нельзя брать

y₁=e^kx,y₂=e^kxu(x)

y₁=e^kx,y₂=xe^kx

Пример.y"-4y'+4y=0

k²-4k+4=0

k₁=k₂=k=2

Y=e^2x (c₁+c₂x)

III) комплексные числа

D<0

корень=k_1,2= (-p )/2

D= -1

k= (-p m )/2=a+bi

Y=e^ax (c₁*cos bx + c₂*sin bx)

Пример.y"+2y'+5y=0

k²+2k+5=0

k_1,2= -1 = -1 =-1 2i

k₁= -1+2i a= -1 b=2

Y=e^-x (c₁*cos 2x + c₂*sin 2x)

Пример. y'''' - 2y'''+y''+2y'-2y=0

размерность пространства = 4

надо искать 4 базисных вектора,

найдем характер.ур-е

k⁴-2k³+k²+2k-2=0

k² (k²-k+1)+2(k-1)=0

k² (k-1)²+2(k-1)=0

(k-1)(k³-k²+2)=0

(k-1)(k³+1-(k²-1))=0

(k-1)((k+1)(k²-k+1)-(k+1)(k-1))=0

(k-1)(k+1)(k²-k+1-k+1)=0

(k-1)(k+1)(k²-2k+2)=0

k₁=1 k₂= -1 k_3,4=1 =1 =1 i

Y=c₁e^x+c₂e^-x+e^x(c₃*sin x+c₄*cos x)

19 Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

y* - какое нибудь частное решение ур-я y''+p*y'+q*y=f(x) (1)

Y - общее решение соответсвующего однородного ур-я

тогда полное решение диф.уравнения - y=y* + Y

(y*)'' + p*(y*)' + q*y = f(x)

(y* + Y)'' +p*(y* + Y)' + q(y* + Y)=(y*)'' + p*(y*)' + q*y + Y'' + p*Y' + q*Y = 0

Полное решение неоднородного ур-я (1) складывается из суммы частного решения неоднородного ур-я + общее решение однородного.

Замечание. Частное решение неоднородного ур-я находится по виду правой части диф.ур-я.

Варианты нахождения

1-ый случай.

f(x) = e^ax

y*=A*e^ax

k²+pk+q = 0

y* = Ae^axx^r , где а - корень характеристического ур-я, r - кратность корня а, как характеристического ур.

2-ой случай.

f(x)=P_n(x)*e^ax

y*=Q(x)*e^ax*x^r

3-ий случай.

f(x)=e^ax (A*sin bx + B*cos bx)

y*=e^ax (c₁*sin bx + c₂*cos bx)*x^r

x=1, если a+b* , a+b*i, i - комплексное число

Пример. y''+9y=(x+1)*e^3x

y''+9y=0 (однородное,составляем характеристическое)

k²+0*k+9=0

k²= -9

k_1,2= = 3 = 3i (a=0,b=3)

Y=e^ax (c₁*cos bx + c₂*sin bx)

Y=c₁*cos 3x + c₂*sin 3x

y* = ?

y*=(Ax+B)*e^3x (подставим в изначальное уравнение)

x^r r=0 r 3

(y*)'=Ae^3x + 3(Ax+B)e^3x =e^3x (A+3Ax+3B)

(y*)''=3e^3x (A+3Ax+3B)+e^3x 3A=e^3x (9Ax+6A+9B)

e^3x(9Ax+6A+9B)+e^3x(9Ax+9B)=e^3x(x+1)

9Ax+6A+9B+9Ax+9B=x+1

18Ax+18B+6A=x+1

x¹ | 18A=1 A=1/18

x⁰ | 18B+6A=1 18B+1/3=1 18B=2/3 B=1/27

y*=e^3x(x/18 + 1/27)

y=y* + Y=e^3x(x/18 + 1/27)+c₁*cos 3x + c₂*sin 3x

Пример. y''-7y'+6y = x*e^x

y''-7y'+6y=0

хар.ур-е: k²-7k+6=0

k₁=1, k₂=6

Y=c₁*e^x+c₂*e^6x

y*=e^x(Ax+B)=e^x(Ax²+Bx)

e^x=e^ax

a=1 явл.корнем хар.ур-я r=1 значит надо умножить на x^r

(y*)'=e^x(Ax²+Bx)+e^x(2Ax+B)=e^x (Ax²+(2A+B)x+B)

(y*)''=e^x (Ax²+(2A+B)x+B)+e^x(2Ax+2A+B)=e^x(Ax²+(4A+B)x+2B+2A)

e^x(Ax²+(4A+B)x+2B+2A)-e^x(7Ax²+(14A+7B)x+7B)+e^x(6Ax²+6Bx)=x*e^x

x² | A-7A+6A=0 0=0

x¹ | 4A+B-14A-7B+6B=1 -10A=1 A= -1/10

x⁰ | 2A+2B-7B=0 2A-5B=0 -1/5-5B=0 B= -1/25 |=>

y*=e^x( -x²/10 - x/25)

y=y*+Y=e^x( -x²/10 - x/25) + c₁*e^x+c₂*e^6x

4-ый случай.

y''+py'+qy=f₁(x) + f₂(x)+...+...

y=Y+y₁*+y*₂

Пример. y''+2y'+5y=cos x+x+e^x

y''+2y'+5y=0

k²+2k+5=0 (хар.ур-е)

k_1,2= -1 = -1 2i

Y=e^-x (c₁*cos 2x + c₂*sin 2x)

y₁*=e^0x(A*cos x + B*sin x) (=)

альфа=0+i=i r=0

(=) Acos x+Bsin x

(y₁*)' = -Asin x + Bcos x

(y₁*)''= -Acos x - Bsin x

-Acos x - Bsin x - 2Asin x + 2Bcos x + 5Acos x+ 5Bsin x = cos x

cos x | -A+2B+5A=1 A= -B/2

sin x | -B-2A+5B=0 A=2B B=1/10 A=1/5

y₁*=(cos x)/5 + (sin x)/10

y₂*=e^0x(Ax+B)=Ax+B

(y₂*)' =A

(y₂*)'' = 0

2A+5Ax+5B=x

x¹ | 5A=1 A=1/5

x⁰ | 2A+5B=0 B= -2/25

y₂*=x/5 - 2/25

y₃*=Ae^x

(y₃*)' = Ae^x

(y₃*)'' = Ae^x

Ae^x+2Ae^x+5Ae^x=e^x 8A=1 A=1/8

y*=e^x/8

н=Н+н₁*+н₂*+н₃*=у^-ч(с₁*сщы 2ч + с₂*ышт 2ч)+ (сщы ч).5 + (ышт ч).10+ ч.5 - 2.25+у^ч.8