15. Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение - уравнение, содержащее производную F (x,y,y^/,..., у⁽ⁿ⁾)=0,

y⁽ⁿ⁾ – «y n-ная производная», n - порядок производной.

Решение дифдренциалъного уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение обращает его в верное функциональное тождество. Например, функция y=sin х является решением уравнения у"+у=0, так как (sin х)"+ sin х=0 для любых х.

Количество решений = порядок уравнения

Общий интеграл – решения не выражаются друг через друга.

Пр. y^//+y=0, F(x;y;y^/;y^//)

y=sinx, y^/=cosx, y^//=-sinx: -sinx+sinx=0

Уравнения с разделяющимися переменными.

F (x,y,y^/))=0, y^/=f(x;y)- частный случай диф. ур-ния Iпорядка.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 |=> dy/dx=-(M(x;y)/N(x;y))=f(x;y)

Опред. Пусть диф.ур-ние обозначено M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, тогда оно называется ур-нием с разделенными переменными, если М -зависит только от x, N-от y, то ур-ние называется, ур-нием с разделенными переменными.

∫M(x;y)dx+∫N(x;y)dy=∫0

Опред. Ур-ние, записанное в диф-ной форме называется ур-нием с разделяющимися перем-ми, если оно имеет вид: М₁(х)М₂(у)dy+N₁(x)*N₂(y)dy=0

Ур-ние с разделяющимися пер-ми легко привести к ур-нию с разделенными: М₁(х)М₂(у)dy+N₁(x)*N₂(y)dy=0 |:M₂(y)N₁(x)

(M1(x)/N₁(x))dx+(N₂(y)/M₂(y))dy=0,

∫(M1(x)/N₁(x))dx+∫(N₂(y)/M₂(y))dy=C

Прю н^.=-н.чж вн.вч=-н.чж вн=-(н.ч)вчж (н.ч)вч+вн=0ж нвч+чвн=0/Жч*нж вч.ч+вн.н=0ж ∫вч.ч+∫вн.н=Сж дт/ч/+дт/н/=с=дтсж чн=с

16 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Определение. Функция двух переменных M(x,y) называется однородной размерностью k(k - натуральное) если при умножении ее аргументов на один и тот же множитель ƛ.

M(ƛx,ƛy)= ƛ^k ×M(x,y)

f(x,y)=x-3y - однородное, размерностью 1 => f(ƛx, ƛy)= ƛx-3ƛy=ƛ(x-3y)

f(x,y)=x²-4xy+3y² (ƛx)²-4(ƛx)(ƛy)-3(ƛy²)=ƛ²(x²-4xy+3y²) => размерностью 2

Определение. Уравнение y'=f(x,y) называется однородным,если правая часть уравнения есть однородная функция нулевой размерности.

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

M(x,y) и N(x,y) - однородны

y=x*z(x)=x*z

при этом, после такой замены дифференциальное уравнение придет к ур-ю с разделяющимися переменными

Пример. (y-x)*dx + (x+y)*dy= 0

y'=dy/dx=x-y/x+y (<=>)

y=x*z(x)=x*z y'=z+x*z'

(<=>) z+x*z'=x-xz/x+xz (=)

z+x*z'=1-z/1+z

x*z'=(1-z/1+z)-z

x*dz/dx=(1-2z-z²/1+z) \*dx

(=)x*dz=(1-2z-z²/1+z)*dx \:x

dz=(1-2z-z²/1+z)*(dx/x)

(z+1/1-2z-z²)dz=dx/x

∫(z+1/1-2z-z²)dz=∫dx/x=ln(x)

17. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение бернулли.

Линейные уравнения первого порядка

y'+P(x)*y=Q(x)

y' и y

P(x) Q(x)

y=u*v=u(x)*v(x)

Основная идея введения двух функций вместо одной состоит в том, что одну из них можно выбрать произвольно.

y'=u'v+uv'

уравнение u'v+uv'+P(x)*uv=Q(x) обозначим как (*)

выберем функцию v(x) так,чтобы uv'+P(x)*uv=0

u(v'+P(x)v)=0

v'+P(x)v=0

dv/dx +P(x)v=0 \*dx

dv+P(x)v*dx=0 \поделим на v

∫dv/v+∫P(x)dx=0 <-ур-е с разделенными переменными

ln|v|+∫P(x)dx=0

v=e^{-инт. p(x)dx}

подставим найденное v в ур-е (*)

u'e^{-инт. p(x)dx}=Q(x) \*e^{инт. p(x)dx}

du/dx=e^{инт. p(x)dx} *Q(x)

u(x)=∫Q(x)*e^{инт. p(x)dx} dx+ C

y=uv=(∫Q(x)*e^{инт. p(x)dx} dx +C)*e^{-инт. p(x)dx}

Пример. dy/dx - 2y/x+1 = (x+1)³

y=u*v y'=u'v+uv'

u'v+uv' - 2uv/x+1=(x+1) ³ обозначим за (*)

v' - 2v/x+1=0

dv/dx=2v/x+1

∫dv/v=∫2dx/x+1

ln|v|=2ln|x+1| потенцируем

v=(x+1)² подставляем в (*)

u'(x+1)²=(x+1) ³

u'=x+1

du/dx=x+1

u=∫(x+1)dx=x²/2+x+C

y=uv=(x²/2+x+C)*(x+1)²

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида y'+P(x)y=yⁿ × Q(x), n≠1,0 называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Решается так же,как и линейное, подстановкой y=uv или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой z=y^{- n}

Пример. y'+xy=x³y³

y'=u'v+uv'

u'v+uv' +xuv=x³u³v³ обозначим за (*)

uv' +xuv=0

u(v'+xv)=0

v'+xv=0

dv/dx +xv=0

∫dv/v+∫xdx=∫0

ln|v|+x²/2=0

ln|v|= -x²/2 проведем потенцирование

v=e^{-x^2/2}

u'e^{-x^2/2}=x³e^{(-3x^2)/2} u³ \*e^{x^2/2}

u'=x³e^{-x^2} u³

du/dx=x³e^{-x^2}u³ ур-е с разделяющимися переменными,разделим

∫du/u³=∫x³e^{-x^2} dx

!выкладка!

∫x³e^{-x^2} dx=1/2 ∫x²e^{-x^2} d(x²) (=)

x dx=d(x²)/2 x²=z

(=)1/2 ∫ze^-zdz (=)

u=z du=dz dv=e^-z dz v= -e^-z

(=) - ze^-z + ∫e^-z dz = - ze^-z - e^-z= - e^-z(z+1)= - e^{-x^2} (x²+1)

!конец выкладки!

u^-2 = e^{-x^2}(x²+1)

u^-2=e^{-x^2} (x²+1)

u²=1/e^{-x^2} (x²+1)

u²=e^{x^2}/(x²+1)

u= e^{x^2}/x²+1

y=uv=e ^{(-x^2)/2}*√e ^{x^2}/x ²+1