9 Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке [а;х], кроме того ,

то производная от Ф(х) будет равна подынтегральной функции, т.е. Ф’(x)=f(x).

= Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;в]. Тогда в каждой точке х отрезка [а;в] производная функции Ф(х) по его верхнему пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е.

Док-во: найдём производную от Ф(х)

= = = = = = = , т.к. ,

Следствие: , где f(x) непрерывная функция на промежутке [а;х], тогда Ф(х) будет первообразной для функции f(x).

Формула Ньютона-Лейбница.

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

, где F(x) – первообразная для f(x).

Док-во: Рассмотрим

и (*) = F(x)+C, тогда если х=а => =F(a)+C => C=-F(a) (для всех t из [a;x]).

Вернёмся к (*) , при х=b => <=>

10 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям.

Замена переменной.

Т. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α;β], a=φ(α), b=φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t из [α;β]. Тогда справедливо равенство:

- формула замены переменной в определённом интеграле.

Замена х=φ(t), φ(t) – дифференцируема, f(φ(t)) – непрерывна, a=φ(α), b=φ(β).

Док-во:

Т.е.

Интегрирование по частям.

Т. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда

Где Док-во:

То функция u*v является первообразной для функции u*dv+v*du, тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

(где u’(x)dx=du и v’(x)dx=dv).

11 Вычисление .

=(заменим dx=-dy, при х=0→у=П/2; при х=П/2→у=0; cosx=cos(П/2-y)=siny)= = =

= = (проинтегрируем по частям: )= =

= =

= =

=

1 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственный интеграл от функции - когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконеч­ность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегри­рования. Пусть функция у=f(х)

определена и интегрируема на произвольном отрезке [a, t], т.е. функция определена для произвольного t>a.

О пределение. Несобственным интегралом om функции f{x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к +∞, т.е.

П р1.

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи: а) исследование вопроса о сходимости заданного несобствен­ного интеграла; б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

1 случай. α>1

2 случай. α=1

3 случай. α<1

Если α>1, то интеграл сходящийся, если α≤1, то расходящийся. Если предел, стоящий в правой части равенства, суще­ствует и равен конечному числу, то несобственный интеграл называется сходя­щимся (к числу, которому равен), если интервал равен бесконечности или не дает никакого числа, то интеграл называется расходящимся (есть расходимость к бесконечности или просто расходимость).

- предел не существует. f(x) ≤ g(x)

П р.

1 3.Несобственные интегралы от разрывных функций. Несобственный интеграл от функции - когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконеч­ность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Если существует и конечен предел ,

где δ>0, то он

называется несобственным интегралом от функции y=f(x) на [a, b) и обозначается

1.Если lim есть, то его значение приписывают значению всего интеграла.

2. Если нет хоть одного lim, то интеграл – расходящийся.

Пр.