3. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл  , содержащий квадратный трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой интеграл берут также методом подстановки, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат. Покажем это на примерах. Вычислить  . Преобразуем  , выделяя полный квадрат по формуле  . Тогда  ;

4. Интегрирование рациональных дробей.

Если   - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

 

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

 При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемыйметод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

  Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

 Пример.

Т.к.  ( , то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

 

 

 

 

 

   

5 Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида: где рациональная функция от u и v.. Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменных

, .Действительно, ,

Пример:

Подынтегральная функция удовлетворяет условию или то, можно использовать подстановку , или , соответственно.

Интегралы вида вычисляются с помощью замены

Интегралы вида вычисляются с помощью замены

Интегралы вида если то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены

Интегралы вида вычисляются с помощью формул понижения степени

Пример, =

6 Универсальная тригонометрическая подстановка.

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

,

….Таким.образом:

Пример:

7 Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

Пусть на некотором интервале [a,b] задана непрерывная функция y=f(x)>0. y=0, x=a, x=b. Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена близко к кривой f(x) на [a,b]. Фигура под ломаной состоит из трапеций, и ее площадь Sл (сумма площадей всех этих трапеций) мб вычислена с помощью формул планиметрии. Поскольку ломаная близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство Sл=S. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломанной к заданной прямой.

Определенный интеграл.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и a=x0<x1<…<xn=b – произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида где называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [а, b]. Предел интегральной суммы Sn при условии, что число разбиений отрезка [а, b] неограниченно увеличивается, , а наибольшая из разностей (длин частичных отрезков разбиения) стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а, b] и обозначается символом т.е. где f(x) -подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b - верхний предел интегрирования.

8 Свойства определенного интеграла.

1. Аддитивность

2.

3.

Действительно, пусть первообразная для равна , для равна , а для равна . Тогда равенство означает, что где . Поскольку и

то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных (св-во линейности).

4. где -произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через некоторую первообразную для , а через -некоторую первообразную для . Тогда равенство означает, что , где -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: , так как - первообразная для , а , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и . Итак, постоянный множитель можно вынести за знак интеграла (линейность).

5.

6.

7.

8.

9. - теорема о среднем.

10.