1.Первообразная и ее св-ва. Неопределенный интеграл и его св-ва. Таблица интегралов.

F(x)-первообразная f(x) если F’(x)=f(x).

Пример: f(x)=sinx F(x)=-cosx F’(x)=(-cosx)’=sinx=f(x)

Свойства первообразной:

Первообразная суммы равна сумме первообразных

• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

• Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке

• Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

• У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Неопределенный интеграл от функции f(x) по dx называется совокупность всех первообразных функций f(x).

∫f(x)dx=F(x)+c, F(x)-первообразная f(x), F’(x)=f(x)

∫f(x)dx, где f(x) – под интегральная функция, f(x)dx-под интегральное выражение, dx-дифференцир. переменная х.

Св-ва:

1. производная от неопред интеграла равна под интегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во:  (∫f(x)dx)′=(F(x)+C)′=F′(x)+0=F′(x)=f(x). F(x)-первообр f(x).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. ∫dF(x)dx=F(x)+C. Доказательство:  dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx, ∫dF(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C. 

3) Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла, т.е. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k/=0  Доказательство: Пусть F(x) -- первообразная для функции f(x), тогда  kF(x) -- первообразная для функции kf(x). 

(kF(x))′=0+kF′(x)=kF′(x)=kf(x).

Таким образом  ∫kf(x)dx=kF(x)+C=k(F(x)+C/k)=k(F(x)+C1)=k∫f(x)dx 

4) Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) интегралов этих функций. ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 

5)дифф от неопред интеграла есть под интегральное выражение.

Док-во: d(∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’=f(x)dx (по 1 св-ву).

2.Способ подстановки в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой

Метод подстановки основан на след формуле: ∫f(x)dx=∫f(y(t))y’dt

x=y(t)

Док-во: (∫f(x)dx)’=f(x)*x_t=f(y(t))*y’(t)

∫f(y(t))y’(t)dt)’=f(y(t))y’(t)

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывныхи гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок: