§12.Непрерывность справа (слева)

Определение. Функция называется непрерывной в точке справа, если

Аналогично определяется непрерывность слева.

Пример 12.1. Все функции, графики которых указаны на рисунках 11.1, 11.2, 11.3, являются разрывными в точке х=0 как слева, так и справа.

§13. Устранимый разрыв

Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в этой точке.

Определение. Функция имеет устранимый разрыв в точке , если

Теорема. Если функция имеет устранимый разрыв в точке , то, изменив , мы получим новую функцию, непрерывную в точке .

Пример 13.1. На рис. 11.2 мы видим функцию, которая в точке х=0 имеет устранимый разрыв. Если несколько поправить (см. рис. 13.1), то получим

Рис. 13.1.

непрерывную для всех х функцию .

§14.Разрыв первого рода

Определение. Функция имеет разрыв первого рода в точке , если в точке существуют (конечные) пределы слева и справа и

Пример 14.1. На рис. 11.1 дан график функции, которая имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т.к. предел справа равен 1, предел слева равен -1 и эти пределы разные.

§15.Разрыв второго рода

Определение. Если разрыв не является устранимым разрывом и не является разрывом первого рода, то он называется разрывом второго рода.

Пример 15.1. Функция при х=0 имеет разрыв второго рода, так как не существуют пределы ни справа, ни слева. На рис. 3.1 и 3.2 имеем графики функций с разрывом второго рода при х=0. На рис. 3.3 видим разрыв второго рода при х=2.