
- •§1.Определение предела последовательности
- •§2. Определение предела функции
- •§3.Функция, стремящаяся к бесконечности
- •§4.Свойства функции, стремящейся к бесконечности
- •§5.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •§6.Свойства бесконечно малых величин
- •§7.Основные теоремы о пределах
- •§12.Непрерывность справа (слева)
- •§13. Устранимый разрыв
- •§14.Разрыв первого рода
- •§15.Разрыв второго рода
- •§16.Эквивалентные бесконечно малые величины
Федеральное агентство по образованию
Российская экономическая академия имени Г.В.Плеханова
Кафедра высшей математики
Лекции по дисциплине «Математический анализ»
Москва 2013
Составители:
канд. физ. матем. наук Р.К. Гринцявичус
Лекции по дисциплине Математический анализ» / Р.К.Гринцявичус. -М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2007
Предлагается краткая теория по всем разделам учебной дисциплины «Математический анализ».
Для студентов ОЭФ и факультета МЭО .
§1.Определение предела последовательности
Определение.
Перенумерованное множество чисел
называется последовательностью.
Последовательность
можно
задать так называемой формулой
-го
члена
Здесь подразумевается, что
Определение.
Последовательность
стремится к b
при
,
если для любого
существует такое
,
что для всех
справедливо неравенство
Коротко это можно записать так:
,
если
Значок
читается «для любого». Значок
читается «существует». Значок : читается
«такое, что при».
Пример 1.1. Докажем,
что
Способ 1. Для
заданного
возьмем
.
Тогда из неравенства
следует
.
Отсюда
Ч.т.д.
Способ 2. В предыдущем
способе не понятно, как мы догадались,
что в качестве
нужно взять
.
Это следует из цепочки формул:
=
.
Способ 3. Нестрогое, но наглядное доказательство следует из таблицы:
|
1 |
10 |
1000 |
1000000 |
100000000000 |
|
2 |
|
1,001 |
1,000001 |
1,00000000001 |
§2. Определение предела функции
Определение. Пусть
имеем два множества А и B.
Предположим, что каждой точке
сопоставлена точка
.
В этом случае говорят, что задана функция
у от х.
Такую функцию
обозначают
или
и так далее.
Примеры:
.
Функции можно задать аналитически, графически, таблично.
Частным случаем
функции является последовательность
Определение. Число
b
называется пределом функции
при х, стремящемся к а,(обозначается
)
если для любого положительного числа
существует такое положительное число
,
что для всех х, не совпадающих с а и
удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
.
Коротко это определение можно записать
так:
,
если
.
Замечание. В
определении предела мы неявно предполагаем
существование такого
,
что функция
определена при любом
.
Пример 2.1. Докажем
формулу:
Действительно:
Рассмотрим цепочку формул:
.
Теперь ясно, что для заданного
положительного
нужно взять
,
ибо из неравенства
последует
.
Ч.т.д.
§3.Функция, стремящаяся к бесконечности
Определение. Функция стремится к бесконечности при х, стремящегося к а, если
.
Пример 3.1. Докажем
Для этого необходимо
доказать
Убедимся в следующей цепочке формул:
.
Поэтому для заданного
возьмем
.
Тогда из неравенства
последует
.
Ч.т.д.
Не строгое, но
достаточно наглядное доказательство
формулы
следует из таблицы
|
1 |
0,1 |
0.001 |
0.00001 |
|
1 |
10 |
1000 |
100000 |
Пример 3.2. Рассмотрим
графики трех функций
:
Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3
Из этих рисунков можно догадаться в справедливости формул:
.
Замечание 3.1. Знак
означает, что х стремится к 0, оставаясь
все время больше нуля. Аналогично,
означает, что х стремится к 2, оставаясь
все время больше двух.
Замечание 3.2.
означает, что
В этом можно убедиться из рис. 3.2.
Замечание 3.3. Мы часто будем говорить, что 1/0 не существует в том смысле, что оно равняется бесконечности.
Пример 3.3. Для
построения графиков необходимо привлекать
современные компьютеры. В этом пособии
приведены графики, построенные в Еxcel.
Например, график
(рис. 3.1) в Еxcel
можно построить следующим образом:
1) в ячейку А1 вводим число -2;
2) в ячейке А2 программируем формулу =А1+0,1;
3) содержимое ячейки А2 растягиваем вплоть до ячейки А41; в ячейке А41 появиться число 2;
4) в ячейке В1 программируем =1/А1;
5) содержимое ячейки В1 растягиваем вплоть до ячейки В41;
6) ЛК(левой кнопкой мыши) выделяем содержимое ячеек А1:В20;
7) ЛК по Вставка;
8) ЛК по Точечная;
9) ЛК по выбранному типу графика;
10) ПК (правой кнопкой мыши) по графику;
11) ЛК по Выбрать данные;
12) ЛК по Добавить;
13) ЛК по полю Значения Х:;
14) ЛК выделяешь содержимое ячеек А2:А41;
15) ЛК по полю Значения У: и стираешь содержимое этого поля;
16) ЛК выделяешь содержимое ячеек В22:В41;
17) ЛК по ОК;
18) ЛК по ОК.
Пример 3.4. Чтобы график из Еxcel перенести а Уорд, нужно:
1) ЛК по графику;
2) ЛК по знаку меню Копировать;
3) ПК в том месте листа Уорда, где предполагаете вставить график;
4) ЛК по Вставить.