19 Законы ома и кирхгофа в комплексной форме

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае по­следовательного и параллельного соединений элементов R, L, С.

Последовательное соединение R, L, С.

Положим, что в уравнении Кирхгофа

(3.4)

заданными являются параметры R, L, С и гармоническое напряжение u = U_mcos(t+) на зажимах цепи, а искомой величиной является ток i. Ввиду того, что здесь рассмат­ривается установившийся режим цепи гармонического тока, решение этого дифференциального уравне­ния должно дать гармоническую функцию вида

,

где I_m и ( – ) – пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.

Пусть в соответствии с предыду­щим параграфом заданное гармони­ческое напряжение символизируется комплексной функцией , а искомый гармонический ток – комп­лексной функцией , комплекс­ные амплитуды напряжения и тока равны соответственно:

; .

Сложение, дифференцирование и интегрирование гармонических функций в уравнении (3.4) заменя­ются теми же математическими опе­рациями над действительными ча­стями комплексных функций:

. (3.5)

Операции над действительными частями комплексных функций мо­гут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением дейст­вительной части полученного резуль­тата. Объясняется это коммутатив­ностью операций сложения, диффе­ренцирования и интегрирования относительно символической опера­ции Re. Итак, (3.5) преобразуется следующим образом:

.

Полученное уравнение удовлет­воряется для любого момента вре­мени. Поэтому заключенные в скоб­ки комплексные выражения, от ко­торых берется действительная часть, должны быть равны друг другу. Производя дифференцирование и интегрирование, получаем:

. (3.6)

Здесь следует обратить внима­ние на то, что при интегрировании функции е^jt постоянная интегри­рования опущена, так как в рас­сматриваемом установившемся ре­жиме цепи гармонического тока электрические заряды или напряже­ния на емкостях представляют гар­монические функции, не содержа­щие постоянных слагающих.

В результате сокращения всех частей уравнения (3.6) на множитель е^jt получается алгебраиче­ское комплексное уравнение

. (3.7)

Ток I_m может быть вынесен за скобки. При этом вводится условное обозначение для комплексного сопротивления рассматривае­мой электрической цепи

. (3.8)

Таким образом, получается урав­нение

, (3.9)

выражающее закон Ома для комп­лексных амплитуд.

Разделив обе части уравнения (3.9) на , получим закон Ома для комплексных дейст­вующих значений

. (3.10)

Следовательно, комплексное со­противление электрической цепи равно отношению комплексного на­пряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи.

Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (3.8) в алгебраической форме. Та же ве­личина в тригонометрической и по­казательной (полярной) формах имеет вид:

(3.11)

Здесь – модуль комп­лексного числа Z – представляет полное сопротивление цепи, а  - аргумент комплексного числа Z:

; .

На основании (3.9) комплексная амплитуда тока

,

где φ – начальная фаза тока. Следовательно, искомый ток в тригонометрической форме

,

что совпадает с результатом, полу­ченным ранее.

На рисунке 3.4 дана геометрическая интерпретация на комплексной плос­кости уравнения (3.10). Рисунок 3.4, а относится к случаю, когда ре­активное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (Х > 0) и со­ответственно ток отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Рисунок 3.4, б относится к случаю, когда реактив­ное сопротивление цепи имеет ем­костный характер (Х < 0), и поэтому ток опережает по фазе напряжение (φ < 0).

а б

Рисунок 3.4 Векторные диаграммы для последователь­ной цепи R, L, С

при х > 0 (а) и x < 0 (б)

В случае чисто реактивной цепи (R = 0) ток отстает от напряжения по фазе на /2, если сопротивление цепи индуктивное, и опережает на­пряжение на /2 при емкостном со­противлении цепи.

Как видно из векторных диа­грамм, приведенных на рисунке 3.4, U_R = RI – напряжение на сопротив­лении R (совпадает по фазе с то­ком I), U_L = jLI – напряжение на индуктивности L (опережает ток I на угол /2) и U_C = –jI 1/(C) – напряжение на емкости С (отстает от то­ка I на угол /2).

Геометрическая сумма векторов дает вектор приложен­ного к цепи напряжения

.

Активная слагающая на­пряжения U_a = U_R, реактивная слагающая U_p = U_L + U_c и суммарное напряжение U об­разуют треугольник напряже­ний.

Треугольник сопротивле­ний, подобный треугольнику напряжений и повернутый от­носительно него на угол    (рисунок 3.5), представляет геометрическую интерпретацию уравнений (3.11). Его положе­ние не зависит от начальных фаз и ; сопротивление R от­кладывается на комплексной плоскости в положительном на­правлении действительной оси, а реактивное сопротивление х в зависимости от его знака от­кладывается в положительном (х > 0) или отрицательном (х < 0) направлении мнимой оси (рисунок 3.5, а и б).

Рисунок 3.5 Треугольник сопротивлений при х > 0 (а) и х < 0 (б)

Параллельное соединение R, L, С.

Пользуясь рассужде­ниями, аналогичными приведен­ными выше, можно прийти к комплексной форме законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, состоящей из элементов R, L и С, соединенных параллельно.

Ограничиваясь записью для комплексных действующих значе­ний, пропорциональных комплекс­ным амплитудам, имеем в соответ­ствии с первым законом Кирхгофа

; (3.12)

здесь – ток в сопротивлении R (совпадает по фазе с напря­жением U);

– ток в индуктивности (отстает от напряжения на /2);

– ток в емкости (опережает напряжение на /2).

Выражение

(3.13)

представляет собой комплекс­ную проводимость рассмат­риваемой цепи; g и b – активная и реактивная проводимости цепи.

Уравнение

(3.14)

выражает закон Ома в комплексной форме. Следовательно, комплексная проводимость электрической цепи равна отношению комплексного то­ка в данной цепи к комплексному напряжению на ее зажимах.

Тригонометрическая и показа­тельная (полярная) формы комп­лексной проводимости имеют сле­дующий вид:

здесь – модуль комплексно­го числа Y – представляет полную проводимость цепи, а (-φ) – аргу­мент комплексного числа Y:

.

На основании (3.14) комплекс­ное действующее значение тока равно

,

что соответствует гармоническому току

.

На рисунке 3.6 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (3.12). Рисунок 3.6, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Рисунок 3.6, б относится к случаю, когда реактив­ная проводимость цепи имеет емко­стный характер (b < 0) и соответст­венно ток опережает по фазе напря­жение (φ < 0).

Рисунок 3.6 Векторные диаграм­мы для параллельной цепи R, L, С

при b > 0 (а) и b < 0 (б)

Активная слагающая тока I_a = I_R, реактивная слагающая I_p =I_L + I_C и суммарный ток I образуют тре­угольник токов.

Треугольник проводимостей, по­добный треугольнику токов и повер­нутый относительно последнего на угол  против хода часовой стрелки (рисунок 3.7), служит геометрической интерпретацией выражения (3.13): активная проводимость g отклады­вается на комплексной плоскости в положительном направлении дей­ствительной оси, а реактивная про­водимость b в зависимости от ее знака откладывается в отрицатель­ном (b > 0) или положительном (b < 0) направлении мнимой оси (рисунок 3.7, а и б).

+

а б

Рисунок 3.7 Треугольник проводимостей при b > 0 (а) и b < 0 (б)

В таблице 3.1 дана сводка уравне­ний элементов цепи в комплексной форме.

Таблица 3.1 Комплексная запись уравнений элементов цепи

Элемент	Напряжение	Ток
Сопротивление
Индуктивность
Емкость

Следует обратить внимание на то, что комплексное сопротивление индуктивного элемента равно jL, а емкостного элемента равно ; комплексная проводи­мость составляет соответственно:

и .

При последовательном соедине­нии R, L и С складываются в комп­лексной форме сопротивления, а при параллельном соединении – прово­димости.

В таблице 3.2 приведены выраже­ния комплексных сопротивлений и проводимостей цепи для различ­ных сочетаний элементов R , L, С.

Таблица 3.2 Выражение комплексных сопротивлений

и проводимостей

Цепь	Z при последовательном соединении	Y при параллельном соединении
R, L
R, C
R, L, C