1.

Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначаемых для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий напряжения и тока. В общем случае электрическая цепь состоит из источников и приемников электрической энергии и промежуточных звеньев (проводов, аппаратов), связывающих источники с приемниками. Источниками электрической энергии являются гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы, генераторы и другие устройства, в которых происходит процесс преобразования химической, молекулярно-кинетической, тепловой, механической или другого вида энергии в электрическую. Приемниками электрической энергии, или так называемой нагрузкой, служат электрические лампы, электронагревательные приборы, электрические двигатели и другие устройства, в которых электрическая энергия превращается в световую, тепловую, механическую и т. п. К нагрузкам относятся и передающие антенны, излучающие электромагнитную энергию в пространство.Расчеты электрических цепей и исследования процессов, происходящих в них, основываются на различных допущениях и некоторой идеализации реальных объектов электрических цепей. В теории электрических цепей различают активные и пассивные элементы. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники напряжения и источники тока. К пассивным элементам электрических цепей относятся сопротивления, индуктивности и емкости.

2.

Положим, что через участок электрической цепи (приемник энергии) под воздействием приложенного напряжения u проходит электрический заряд q. Совершаемая при этом элементарная работа или, что то же, поступающая в приемник элементарная энергия равна dw = udq = uidt.Производная энергии по времени, т.е. скорость поступления в цепь электрической энергии в данный момент времени, представляет собой мгновенную мощность. Следовательно, мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произведению мгновенных значений напряжения и ток i.Мгновенная мощность p  величина алгебраическая; она положительна при одинаковых знаках u и i и отрицательна при разных знаках u и i.Если положительные направления для напряжения и тока приняты совпадающими, то при p > 0 энергия поступает в приемник, а при p < 0 энергия возвращается из рассматриваемого участка цепи обратно к источнику.Энергия, поступившая в приемник за промежуток времени от t₁ до t₂, выражается интегралом

В отличие от мгновенной мощности p, которая может иметь отрицательный или положительный знак, энергия, поступившая в приемник, всегда имеет положительный знак.В системе СИ работа и энергия измеряются в джоулях (Дж), мощность p  в ваттах (Вт).

3.

Сопротивлением называется идеализированный двухполюсный элемент цепи, характеризующий потери энергии на нагрев, механическую работу или излучение электромагнитной энергии. . (1.1)Для обозначения физически существующего элемента используется термин резистор.Здесь предполагается, что положительные направления тока и напряжения совпадают; при этом знаки u и i одинаковы и R > 0.Величина g = 1/R, обратная сопротивлению, называется проводимостью. В системе СИ сопротивление R измеряется в омах (Ом), а проводимость g  в сименсах (Сим).Формула (1.1) выражает закон Ома, экспериментально установленный Омом в 1826 г.

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление, равна произведению мгновенных значений напряжения и тока .Следовательно, параметр R может быть численно определен как отношение мгновенной мощности к квадрату мгновенного значения тока, проходящего через сопротивление .Электрическая энергия, поступившая в сопротивление и превращенная в тепло, начиная с некоторого момента времени, например t = 0, до рассматриваемого момента t, равна .

В случае постоянного тока (i = I = const), .Превращение всей электрической энергии W_R в тепловую впервые было доказано опытным путем Джоулем и Ленцем.Параметр R в общем случае зависит от тока i (например, вследствие нагрева резистора током). Зависимость напряжения на резисторе от тока, проходящего через данный резистор, называется вольт-амперной характеристикой, которая в общем случае нелинейна.Если значение сопротивления R не зависит от величины и направления тока, то имеет место прямая пропорциональность между напряжением и током, выражающая закон Ома. В этом случае сопротивление называется линейным. На рисунке 1.3 показаны вольт-амперные характеристики резистора  нелинейная (кривая а) и линейная (прямая б). В этом разделе рассматриваются линейные резисторы.

Очевидно, величина линейного сопротивления R пропорциональна тангенсу угла наклона прямолинейной вольт-амперной характеристики к оси тока

,

где m_u и m_i  масштабы напряжения (В/мм) и тока (А/мм) на чертеже.

4.

Индуктивностью называется идеализированный двухполюсный элемент электрической цепи, в котором накапливается энергия магнитного поляДля обозначения физически существующего элемента применяется термин катушка индуктивности.Потокосцеплением самоиндукции цепи называется сумма произведений магнитных потоков, обусловленных только током в этой цепи, на числа витков, с которыми они сцеплены.В Международной системе единиц Ψ измеряется в веберах (Вб), L в генри (Гн). При этом всегда потокосцепление и ток имеют одинаковый знак, так что L > 0.

На основании закона электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла изменение потокосцепления самоиндукции вызывает электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции,которая выражается формулой

Условное графическое изображение индуктивности с указанием выбранных положительных направлений тока и ЭДС самоиндукции приведено на рисунке 1.5.

Если L не зависит от i, то предыдущая формула принимает вид

. (1.3)

Величина

(1.4)называется падением напряжения в индуктивности, или, что то же, напряжением на индуктивности. Положительное направление u_L совпадает с положительным направлением i (рисунок 1.5).

5.

Емкостью называется идеализированный двухполюсный элемент электрической цепи, приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля. При этом термин «емкость» и соответствующее ему буквенное обозначение С применяются для обозначения способности накапливать энергию электрического поля и для количественной оценки отношения заряда к напряжению на этом элементе:

. (1.7)

Для обозначения физически существующего элемента применяется термин конденсатор.

Если q и uC измеряются в кулонах (К) и вольтах (В), то С измеря-ется в фарадах (Ф). При этом всегда заряд и напряжение имеют оди-наковый знак, так что С > 0.

Зависимость заряда от напряжения в общем случае нелинейна, и, следовательно, параметр С зависит от напряжения.

В случае, когда характеристика q(u) прямолинейна, емкость С постоянна (линейная емкость). На рисунке 1.7 показаны нелинейная и линейная зависимости заряда от напряжения. В этом разделе рас-сматриваются линейные емкости

Предположим, что емкость образована двумя пластинами, разде-ленными диэлектриком. Под влиянием приложенного напряжения на пластинах сосредоточатся равные количества электричества противо-положных знаков; пластина с более высоким потенциалом зарядится положительным электричеством, а пластина с более низким потенци-алом  отрицательным электричеством.

При изменении напряжения, приложенного к пластинам, изменится в соответствии с (1.7) электрический заряд: к пластине, потенциал которой возрастет, поступит дополнительный положительный заряд, а к пластине, потенциал которой снизится, поступит такой же отрицательный заряд.

Ток равен производной электрического заряда по времени. По-этому с изменением напряжения на емкости в присоединенной к ней последовательно электрической цепи создается ток, величина которого определяется скоростью изменения заряда на емкости

. (1.8)

Здесь знак заряда q соответствует знаку пластины, к которой направлен ток i.

Этот ток рассматривается как ток проводимости в проводниках, присоединенных к емкостному элементу (ток, обусловленный движе-нием заряженных частиц под действием электрического поля в веще-стве, обладающем электропроводностью), переходящий в ток смеще-ния в диэлектрике емкостного элемента. Последнее понятие, введенное Максвеллом и применяемое в теории поля, означает скалярную величину, прямо пропорциональную скорости изменения напряжен-ности электрического поля (в случае однородного поля и  = const).

Напомним, что напряженность электрического поля численно определяется силой, действующей на электрический заряд, равный единице.

Благодаря введению понятия тока смещения ток в цепи с емкостью представляется замкнутым через диэлектрик.

Согласно (1.8) ток положителен, когда заряд q и соответственно напряжение uC возрастают.

На основании (1.8) напряжение на емкостиили

Здесь, как и в предыдущем параграфе, предполагается, что до рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго, и поэтому нижний предел интеграла принят равным -.

При t = 0 напряжение на емкости равно

Следовательно,

т. е. в интервале времени от нуля до t напряжение на емкости изменя-ется на величину , определяемую площадью, ограниченной в указанном интервале кривой тока i.

Условное графическое изображение емкости с указанием поло-жительных направлений тока и напряжения приведено на рисунке 1.8.

Полярность емкости, указанная на рисунке 1.8 знаками «+» и «-», соответствует положительному напряжению uC, т. е. положительному заряду на пластине «+».

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна

Она связана с процессом накопления или убыли электрического заряда в емкости.

Когда заряд положителен и возрастает, то ток положителен, и в емкость поступает электрическая энергия из внешней цепи.

Когда заряд положителен, но убывает, т.е. ток отрицателен, энер-гия, ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь.

Допустим, что к емкости С приложено некоторое напряжение uC. Энергия электрического поля в произвольный момент времени t определится по формуле

6)

Замещение физических устройств идеализированными элементами.

Представление о сопротивлении, индуктивности и емкости как идеализированных элементах электрической цепи основано на предположении, что потери энергии, магнитное поле и электрическое поле сосредотачиваются в отдельных, не зависящих друг от друга элементах цепи. Раздельное рассмотрение сопротивления, индуктивности и емкости представляет приближенный метод исследования цепи. В действительности потери энергии, магнитные и электрические поля сопутствуют друг другу.

Электропроводность всякого изотропного вещества характеризуется так называемой удельной электрической проводимостью, равной отношению величины плотности тока проводимости к величине напряженности электрического поля. Величина, обратная удельной электрической проводимости, называется удельным электрическим сопротивлением.

Электрическое сопротивление проводника при постоянном токе, равное отношению постоянного напряжения на рассматриваемом проводнике к постоянному току в нем, зависит от длины проводника l (м), площади поперечного сечения S (м²) и удельного сопротивления  (Омм)

, Ом.

В широких пределах изменения температуры зависимость удельного сопротивления проводника от температуры практически прямолинейна, причем в случае металлических проводников кривая ρ = f() с повышением температуры возрастает, а в случае неметаллических материалов (например, угля) и электролитов  падает.

Если обозначить через ρ₁ и ρ₂ удельные сопротивления при температурах ₁ и ₂, а через ₀  температуру, соответствующую точке пересечения спрямленной характеристики  = f() с осью (рисунок 1.9), то получится пропорция

.

Количество тепла, выделяемого при прохождении тока через какой либо проводник, зависит от целого ряда факторов, в том числе от частоты тока. При невысоких частотах сопротивление проводника мало отличается от сопротивления при постоянном токе. С повышением же частоты ток распределяется по сечению проводника неравномерно: внутри проводника плотность тока уменьшается, ток вытесняется к поверхности проводника, что вызывает как бы уменьшение сечения проводника, а значит увеличение сопротивления. Последнее приводит к увеличению тепловых потерь в проводнике. Это явление носит название поверхностного эффекта.

Неравномерность распределения тока по сечению проводника и возрастание вследствие этого тепловых потерь происходят также под влиянием тока, проходящего по соседнему проводнику. Это явление носит название эффекта близости.

Кроме того, переменное магнитное поле наводит в окружающей проводник проводящей среде вихревые токи, что вызывает дополнительную потерю энергии на нагрев.

К этому можно еще добавить излучение в пространство электромагнитной энергии, наблюдаемое при высоких частотах и вызывающее дополнительное увеличение сопротивления.

Вследствие наличия магнитного и электрического полей проводник наряду с сопротивлением имеет некоторую индуктивность и емкость.

Вычисление сопротивления, индуктивности и емкости проводника с учетом указанных выше факторов относится к задачам теории поля.

Теперь представим себе простейшую индуктивную катушку в виде нескольких круговых витков проводника, по которому проходит ток.

При постоянном токе напряжение на зажимах катушки определится величиной падения напряжения на ее сопротивлении в соответствии с (1.1), и ток во всех точках витков будет одинаковым.

При переменном же токе изменяющееся магнитное поле будет наводить в витке ЭДС самоиндукции. Между витками, так же как и между отдельными точками смежных витков, электрическое поле станет переменным. В связи с этим ток в различных витках будет неодинаковым, так как появится ток смещения между витками. Чем выше частота переменного тока, тем больше будут ЭДС самоиндукции и ток смещения. При низких частотах током смещения можно пренебречь; при высоких же частотах ток смещения, обусловленный изменением напряженности электрического поля, может быть соизмерим по величине с током в витках или даже может превышать его. Таким образом, в зависимости от выбранного диапазона частот индуктивная катушка может быть представлена либо как сопротивление R (при постоянном токе  рисунок 1.10, а), либо как индуктивность L с последовательно включенным сопротивлением R (при низких частотах  рисунок 1.10, б), либо как индуктивность L и сопротивление R, соединенные параллельно с емкостью С (при высоких частотах  рисунок 1.10, в).

Если катушка имеет много витков, то проходящий через нее ток создает магнитный поток, пропорциональный числу витков. Считая, что этот магнитный поток сцеплен со всеми витками катушки, приходим к выводу, что потокосцепление самоиндукции и соответственно индуктивность катушки пропорциональны квадрату числа витков.

Положим, например, что катушка, состоящая из w витков, насажена на тороид или достаточно длинный прямолинейный сердечник, длина которого l (м) и площадь поперечного сечения S (м²⁾.

Обозначим через _a абсолютную магнитную проницаемость сердечника (равную произведению относительной магнитной проницаемости  на магнитную постоянную ₀ = 4·10^-7 Гн/м). Абсолютная магнитная проницаемость для изотропного вещества – скалярная величина, характеризующая магнитные свойства вещества; она равна отношению величины магнитной индукции к величине напряженности магнитного поля.

Магнитный поток в сердечнике определяется отношением намагничивающей силы (н.с.) всей катушки iw к магнитному сопротивлению магнитопровода .

Поэтому индуктивность катушки согласно определению

, Гн.

Она определяется геометрическими размерами катушки, магнитной проницаемостью сердечника и квадратом числа витков.

Перейдем теперь к рассмотрению плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин, разделенных диэлектриком.

При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи не будет. Если напряжение переменно, то в процессе изменения электрического заряда возникает переменный ток, создающий переменное магнитное поле. Эффект, вызываемый магнитным полем, может быть учтен в электрической схеме замещения с помощью некоторой индуктивности, включенной последовательно с емкостью конденсатора. Обычно этой индуктивностью пренебрегают из-за ее относительной малости. Наконец, в диэлектрике благодаря некоторой проводимости возникают тепловые потери, которые возрастают с частотой. Потери на нагрев учитываются в схеме замещения конденсатора посредством сопротивления R, включенного параллельно емкости С (рисунок 1.11).

Емкость конденсатора определяется размерами пластин, расстоянием между ними и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между пластинами.

Если расстояние между пластинами конденсатора (толщина диэлектрика) достаточно мало по сравнению с размерами пластин, то емкость конденсатора вычисляется по формуле

где _а  абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции между пластинами (равная произведению относительной диэлектрической проницаемости  на электрическую постоянную ₀ = 8,855∙10^-12 Ф/м);

S  площадь поверхности каждой пластины, м²;

d – расстояние между пластинами, м.

Абсолютная диэлектрическая проницаемость для изотропного вещества — скалярная величина, характеризующая электрические свойства диэлектрика; она равна отношению величины электрического смещения к величине напряженности электрического поля.

Чем выше частота и чем больше линейные размеры самих устройств, тем в большей мере проявляется взаимосвязь электрических и магнитных параметров и неотделимость друг от друга электрического и магнитного полей, являющихся лишь двумя сторонами единого электромагнитного поля.

Строго разграничить области частот, при которых справедлива та или иная схема замещения, не представляется возможным, так как это зависит от множества факторов.

7.

Источник ЭДС и источник тока. Идеальный и реальный источники ЭДС и источники тока. Их определение вольтамперные характеристики. Условие эквивалентной замены.

В теории электрических цепей пользуются идеализированными источниками электрической энергии: источником ЭДС и источником тока. Им приписываются следующие свойства.

Источник ЭДС (или идеальный источник напряжения) представляет собой активный элемент с двумя зажимами, напряжение на которых не зависит от тока, проходящего через источник.

Предполагается, что внутри такого идеального источника пассивные элементы (R, L, С) отсутствуют, и поэтому прохождение через него тока не вызывает в нем падения напряжения.

Упорядоченное перемещение положительных зарядов в источнике от меньшего потенциала к большему возможно за счет присущих источнику сторонних сил. Величина работы, затрачиваемой сторонними силами на перемещение единицы положительного заряда от зажима «» к зажиму «+», называется электродвижущей силой (ЭДС) источника и обозначается е(t).

В соответствии со сказанным выше напряжение на зажимах рассматриваемого источника равно его ЭДС, т. е. u(t) = е(t).

Величина тока в пассивной электрической цепи, подключенной к источнику напряжения, зависит от параметров этой цепи и ЭДС е(t). Если зажимы идеального источника напряжения замкнуть накоротко, то ток теоретически должен быть бесконечно велик. Поэтому такой источник рассматривают как источник бесконечной мощности (теоретическое понятие). В действительности при замыкании зажимов реального источника электрической энергии  гальванического элемента, аккумулятора, генератора и т.д.  ток может иметь только конечное значение, так как ЭДС источника уравновешивается падением напряжения от тока внутри источника (например, в сопротивлении R, индуктивности L).

Источник напряжения конечной мощности изображается в виде источника ЭДС с подключенным к нему последовательно пассивным элементом, который характеризует внутренние параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю электрическую цепь (рисунок 1.12, в). Обычно внутренние параметры источника конечной мощности незначительны по сравнению с параметрами внешней цепи; они могут быть отнесены к последней или в некоторых случаях могут вовсе не учитываться (в зависимости от соотношения величин и требуемой точности расчета).

Идеальный источник тока представляет собой активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Предполагается, что внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно велико, и поэтому параметры внешней электрической цепи, от которых зависит напряжение на зажимах источника, не влияют на ток источника.

По мере неограниченного увеличения сопротивления внешней электрической цепи, присоединенной к идеальному источнику тока, напряжение на его зажимах и соответственно мощность, развиваемая им, неограниченно возрастают. Поэтому идеальный источник тока, так же как и идеальный источник напряжения, рассматривается как источник бесконечной мощности.

Источник тока конечной мощности изображается в виде идеального источника тока с подключенным к его зажимам пассивным элементом, который характеризует внутренние параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю электрическую цепь (рисунок 1.13, в).

Представляя собой теоретическое понятие, источник тока применяется в ряде случаев для расчета электрических цепей.

Некоторым подобием источника тока может служить устройство, состоящее из аккумулятора, соединенного последовательно с дополнительным большим сопротивлением. Другим примером источника тока может являться транзистор, включенный по схеме с общим эмиттером. Имея внутреннее сопротивление, несоизмеримо большее, чем сопротивление внешней электрической цепи, эти устройства отдают ток, почти не зависящий от изменения внешней нагрузки в широких пределах, и именно в этом отношении они аналогичны источнику тока.

Вольт-амперные характеристики идеальных источников напряжения и тока представляются прямыми, параллельными осям i и u (рисунок 1.14, а). Реальные источники электрической энергии по своим вольтамперным характеристикам могут приближаться к идеальным источникам напряжения или тока. Так, например, в значительной части характеристики u = f(i) напряжение на зажимах генератора постоянного тока с независимым возбуждением (обмотка возбуждения питается от постороннего источника), а также ток i генератора постоянного тока с последовательным возбуждением (обмотка возбуждения соединена последовательно с цепью якоря) изменяются незначительно. На рисунке 1.14, б соответствующая часть характеристики показана сплошной линией.

8.

Законы Кирхгофа. Применение законов Кирхгофа к расчету электрических цепей.

Основными законами теории цепей, наряду с законом Ома, являются законы баланса токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа).

Распределение токов и напряжений в электрических цепях подчиняется законам Кирхгофа, которые должны быть основательно усвоены для отчетливого понимания всех последующих разделов курса.

Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю

. (1.11)

Суммирование распространяется на токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом знаки токов берутся с учетом выбранных положительных направлений токов: всем токам, направленным от узла, в уравнении (1.11) приписывается одинаковый знак, например положительный, и соответственно все токи, направленные к узлу, входят в уравнение (1.11) с противоположным знаком. Иначе говоря, всякий ток, направленный от узла, может рассматриваться как ток, направленный к узлу, но имеющий противоположный знак.

На рисунке 1.23, а в качестве примера показан узел, в котором сходятся четыре ветви. Уравнение (1.11) имеет в этом случае вид

i₁  i₂ + i₃ + i₄ = 0.

Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, так как ни в каком элементе цепи, ни в каком режиме электричество одного знака не может накапливаться.

Так, например, для схемы на рисунке 1.23, б имеем:

i₁ + i₂ + i₃ = 0.

Второй закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура

. (1.12)

Обход контура совершается в произвольно выбранном направлении, например по ходу часовой стрелки. При этом соблюдается следующее правило знаков для ЭДС и падений напряжения, входящих в (1.12): ЭДС и падения напряжения, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся с одинаковыми знаками.

Например, для схемы на рисунке 1.24 имеем

e₁  e₂ = u₁ + u₂ + u₃ – u₄ .

Уравнение (1.12) можно переписать так (1.13)

Здесь (u – e)  напряжение на ветви.

Следовательно, алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю.

Формулы (1.11) и (1.12) написаны в общем виде для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС; они справедливы для цепей как переменного, так и постоянного тока.

График изменения потенциала, рассмотренный в предыдущем параграфе служит графической иллюстрации второго закона Кирхгофа.

9.

Электрическая цепь однофазного синусоидального тока. Гармонические колебания. Информационные параметры гармонических колебаний.

Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьший промежуток времени, по истечении которого наблюдаются повторения мгновенных значений периодических величин, называется периодом. Если величину, являющуюся периодической функцией времени t, обозначить через F(t), то для любого положительного или отрицательного значения аргумента t справедливо равенство

F(t ± T) = F(t),

где Т  период.

Геометрически это значит, что ординаты двух произвольных точек графика F(t) с абсциссами, отличающимися на Т, одинаковы.

Величина, обратная периоду, т.е. число периодов в единицу времени, называется частотой: f = 1/T.

Частота имеет размерность 1/с, а единицей измерения частоты служит Герц (Гц); частота равна 1 Гц, если период равен 1 с.

Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, характеризующийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальными функциями одинаковой частоты. Это возможно только при заданных синусоидальных ЭДС и токах источников. Тем самым обеспечивается наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок.

Как известно из курса математического анализа, синусоида является простейшей периодической функцией; всякие другие несинусоидальные периодические функции могут быть разложены в бесконечный ряд синусоид, имеющих кратные частоты. Поэтому для исследования процессов в цепях переменного тока в первую очередь необходимо изучить особенности цепей синусоидального тока. Так как косинусоида может рассматриваться как сдвинутая синусоида, то условимся к синусоидальным функциям причислять и косинусоидальные. Колебания, выражаемые этими функциями, будем называть гармоническими.

На рисунке 2.1 изображены функции

u = U_mcos(ωt + ) и u = U_msin(ωt + ). (2.2)

рисунок не копируется

Здесь U_m  максимальное значе­ние функции или амплитуда;

ω  скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению частоты на 2:

ω = 2f, рад/сек; (2.3)

  начальная фаза, определяемая величиной смещения гармонической функции относительно начала координат; при записи (2.1) она измеряется абсциссой положительного максимума, а при записи (2.2)  абсциссой точки перехода отрицательной полуволны в положительную.

Начальная фаза  представляет собой алгебраическую величину. На рисунке 2.1, а и г угол  отрицателен. На рисунке 2.1, б и в угол  положителен. В дальнейшем будем пользоваться преимущественно записью (2.1).

За аргумент функций (2.1) и (2.2) может быть принято время t или соответственно угол t > t. Аргументу t соответствует период Т, а аргументу ωt  период ωТ = 2. Следует иметь в виду, что аргумент ωt измеряется в радианах, причем в тех же единицах измеряется и начальная фаза.

Если угол  вычисляется в градусах, то аргумент ωt также переводится в градусы. Напомним, что 1 рад = 57,3°. в этом случае период составляет 360°.

Величина ωt + , определяющая стадию изменения функций (2.1) и (2.2), называется фазовым углом или фазой. С течением времени фаза возрастает, причем после увеличения фазы на 2 цикл изменения синусоидальной величины повторяется.

Рассмотренные в данном параграфе понятия, характеризующие гармонические колебания, являются исходными при изучении электрических процессов в цепях переменного тока.

10.

Среднее и действующее значение функции. Среднее и действующее значение тока и напряжения гармонических колебаний.

Среднее значение периодической функции f(t) за период Т определяется по формуле

F_ср= . (2.4)

Отсюда видно, что среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f(t) и осью абсцисс за один период.

В случае гармонического колебания среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны гармонической функции. Поэтому здесь пользуются понятием среднего значения функции, взятой по абсолютной величине, или, что то же, среднего полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне гармонической функции (рисунок 2.2).

В соответствии с этим среднее значение тока i = I_mсosωt с амплитудой А = I_m будет

. (2.5)

Аналогично среднее значение гармонического напряжения

. (2.6)

Тепловое действие тока, а также механическая сила взаимодействия двух проводников, по которым проходит один и тот же ток, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят обычно по так называемому действующему (среднеквадратичному) значению за период. Этим термином заменен применявшийся ранее в литературе и ныне не рекомендуемый термин «эффективное» значение.

Действующее значение периодической функции f(t) вычисляется по формуле

. (2.7)

Из этой формулы следует, что величина F² представляет собой среднее значение функции [f(t}]² за период Т, т.е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией [f(t)]² и осью абсцисс за один период (рисунок 2.3).

В соответствии с (2.7) действующее значение периодического тока

. (2.8)

Возведя (2.8) в квадрат и умножив обе части полученного выражения на RT, найдем

.

Это равенство показывает, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R, за период времени Т выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

Аналогично действующее значение периодического напряжения

. (2.9)

При токе i = I_mcosωt

.

Следовательно, согласно (2.8)

. (2.8а)

Аналогично действующее значе­ние гармонического напряжения

. (2.9а)

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств опре­деляются, как правило, действующими значениями; поэтому действующие значения представляют наиболее распространенный электрический параметр.

Для измерения действующих значений применяются системы приборов: тепловая, электромагнитная, электродинамическая и др.

(2.1)

11.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ВИДЕ ПРОЕКЦИЙ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВЕКТОРОВ

Мгновенные значения функции u = U_mcos(ωt+) можно получить как проекцию на горизонтальную ось отрезка длиной U_m, вращающегося относительно начала прямоугольной системы координат с угловой скоростью ω = 2f в положительном направлении (т.е. против хода часовой стрелки). Вращающийся отрезок условимся называть вектором. Этот вектор, вращающийся в плоскости прямоугольной системы координат, не следует смешивать с вектором в трехмерном пространстве из области механики или теории электромагнитного поля.

В момент t = 0 вектор образует с горизонтальной осью угол ψ и его проекция на горизонтальную ось равна U_mcos, т.е. мгновенному значению заданной функции при t = 0 (рисунок 2.4, а).

За время t = t₁ вектор повернется на угол ωt₁ и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ωt₁+; его проекция на эту ось будет равна U_mcos(ωt₁ + ) и т.д.

Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов.

Для получения мгновенных значений в соответствии с вышесказанным условимся проектировать векторы на горизонтальную ось. Рассмотрим теперь функцию U_msin(ωt + ) = U_mcos(ωt + - ).

Она представится проекцией вращающегося вектора, имеющего начальную фазу  - (рисунок 2.4, б).

Следовательно, векторы, изображающие косинусоидальную и синусоидальную функции, взаимно перпендикулярны.

Если гармонические колебания имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим колебаниям векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

На рисунке 2.5 показаны две гармонические функции

u₁ = U_1mcos(ωt + ₁)

и

u₂ = U_2mcos(ωt + ₂),

имеющие одинаковую угловую частоту ω и начальные фазы ₁ и -₂. Кривая u₁, смещенная влево относительно u₂, возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая u₂. Поэтому говорят, что u₁ опережает по фазе u₂, или, что то же, u₂ отстает по фазе от u₁. Разность начальных фаз  = ₁ - (-₂) = ₁ + ₂ называется фазовым сдвигом или углом сдвига u₁ относительно u_2. Этот угол и образуют между собой векторы, показанные на рисунке 2.5 (вверху).

При равенстве начальных фаз, т.е. при фазовом сдвиге, равном нулю, векторы, направлены, в одну и ту же сторону (совпадают по фазе).

При фазовом сдвиге 180° векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

Векторное представление гармонических функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций. Ввиду того, что сумма проекций двух векторов равна проекции геометрической суммы этих векторов, амплитуда и начальная фаза результирующей кривой легко находятся из векторной диаграммы геометрическим сложением векторов.

Например, пусть требуется сложить функции

u₁ = U_1mcos(ωt + ₁) и u₂ = U_2mcos(ωt + ₂).

Из графического построения рисунок 2.6, а следует:

; (2.11)

. (2.12)

Здесь угол  находится с учетом знаков числителя и знаменателя, определяющих знаки синуса и косинуса.

В случае, когда функция u₂ вычитается из u₁ (рисунок 2.6, б), угол ₁ в (2.11) и (2.12) заменяется на _{2 +}  или, что то же, на ₂ ().

Амплитуда U_m и угол  могут быть также получены непосредственно из векторной диаграммы.

При пользовании векторной диаграммой с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений гармонических величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной (при равенстве частот углы между векторами не зависят от времени).

Построение векторных диаграмм обычно не связано с определением мгновенных значений гармонических функций; в таких случаях векторные диаграммы строятся не для амплитуд, а для действующих значений, т.е. модули векторов уменьшаются по сравнению с амплитудами в раз. При этом векторная диаграмма мыслится неподвижной.

В отличие от векторных диаграмм кривые мгновенных значений называются временными диаграммами.

12.

Гармонический ток в сопротивлении. Временные и векторные диаграммы. Ток, напряжение и мощность переменного тока в сопротивлении.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ТОК В СОПРОТИВЛЕНИИ

Если напряжение u = U_msin(ωt + ) подвести к сопротивлению R, то через сопротивление пройдет гар­монический ток

.

Следовательно, напряжение на зажимах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе: они одновременно достигают своих амплитудных значений U_m и I_т и соответственно одновременно проходят через нуль (рисунок 2.7).

В данном случае фазовый сдвиг между напряжением и и током i (и соответственно между векторами напряжения и тока ) равен нулю:

 = _u  _I = 0.

При прохождении гармонического тока через сопротивление R не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома: U_m = RI_m; U = RI.

Пользуясь величиной проводимости g = 1/R, получаем: I_m = gU_m; I = gU.

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,

P_R = ui = U_mI_msin²(ωt + ) = UI[1  cos2(ωt + )] (2.10)

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжений и тока и колеблется в пределах 0…2 UI (рисунок 2.8).

Как видно из (2.10), кривая р_R состоит из двух слагающих: постоянной слагающей UI и косинусоидальной функции, имеющей амплитуду UI и угловую частоту 2ω.

Ввиду того, что в рассматриваемом случае напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак (плюс или минус), их произведение всегда положительно.

Среднее значение мощности за период называется средней или активной мощностью и измеряется в ваттах.

В рассматриваемом случае, как это видно из выражения (2.10) и рисунка 2.8, средняя мощность Р = UI = RI². Это следует также и из определений, данных в предыдущем параграфе. Сопротивление R в свою очередь может быть определено как отношение средней мощности к квадрату действующего значения тока .

Ранее отмечалось, что сопротивление проводника при переменном токе больше, чем при постоянном токе, вследствие явлений поверхностного эффекта, эффекта близости, возникновения вихревых токов и излучения электромагнитной энергии в пространство. В отличие от сопротивления при постоянном токе, которое называют омическим, сопротивление проводника при переменном токе называется активным сопротивлением.

В теории электромагнитного поля доказывается, что вследствие поверхностного эффекта сопротивление R_f провода круглого сечения диаметром d при частоте f связано с сопротивлением того же провода R₀ при постоянном токе формулой: R_f = R₀∙0,0385 d т.е. сопротивление растет пропорционально корню квадратному из частоты.

Излучаемая в пространство мощность пропорциональна второй степени частоты, длины провода и действующего значения тока. Следовательно, при l<< сопротивление излучения зависит от соотношения длины провода и длины электромагнитной волны. При низких частотах оно ничтожно мало, а при высоких частотах может быть соизмеримо с R_f или даже больше него.

13.

Гармонический ток в индуктивности. Ток, напряжение и мощность переменного тока в индуктивности.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ТОК В ИНДУКТИВНОСТИ

Пусть через индуктивность L проходит ток i = I_msin(ωt + ).

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле (1.3)

.

Значит, напряжение на индуктивности

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол /2; максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на /2 (рисунок 2.9). Когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума, так как оно пропорционально скорости изменения тока (di/dt), которая в момент прохождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наибольшую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение на индуктивности обращаются в нуль.

Под фазовым сдвигом  тока относительно напряжения понимается разность начальных фаз напряжения и тока (§ 2.4). Следовательно, в данном случае  = _u  _i = .

На векторной диаграмме вектор тока отстает от вектора напряжения на угол /2 (рисунок 2.9, в).

Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома

U_m = ωLI_m = x_LI_m; U = x_LI.

Величина x_L = ωL, имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина называется индуктивной проводимостью.

Итак, I_m= b_LU_m; I = b_LU.

Индуктивное сопротивление представляет расчетную величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:

р_L= u i= U_mI_m sin(ωt++ )sin(ωt+) = 2cos(ωt+)sin(ωt+) = = UIsin2(ωt+) .

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном случае равна скорости изменения энергии магнитного поля индуктивности (§ 1.3).

Энергия магнитного поля индуктивности согласно формуле (1.4а)

изменяется периодически с угловой частотой 2ω в пределах от 0 до (рисунок 2.10).

Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается источнику при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю. Так как максимальное значение энергии, запасаемой в магнитном поле, равно w_Lmax= LI², то индуктивное сопротивление X_L = ωL может быть определено как X_L = .

14.

Гармонический ток в емкости. Ток, напряжение и мощность переменного тока в емкости.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ТОК В ЕМКОСТИ

Пусть напряжение на емкости C синусоидально u = U_msin(t+).

На основании (1.8)

(2.14)

Изменение электрического заряда происходит по косинусоидальному закону в соответствии с приложенным напряжением и. При этом попеременное накапливание положительных и отрицательных электрических зарядов на пластинах емкости обусловливает прохождение в цепи гармонического тока i. Его величина определяется скоростью изменения заряда на емкости (dq/dt).

Выражение (2.14) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол /2 (рисунок 2.11). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения и. Физически это объясняется тем, что, когда электрический заряд q и соответственно напряжение и = q/С достигают максимального значения (положительного или отрицательного), ток i равен нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.

 = _u _i=- .

Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где  = /2, фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае емкости отрицателен ( = −/2).

На векторной диаграмме вектор тока опережает вектор напряжения на угол /2 (рисунок 2.11, в).

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, по­добным закону Ома:

U_m= I_m; I_m = X_CI_m; U = X_CI.

Величина X_C = 1/ωС, имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина b_C = ωC называется емкостной проводимостью. Следовательно, I_m=b_CU_m, I=b_CU.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость,

р_C = ui = U_mI_msin(ωt+)sin(ωt++ ) = UIsin2(ωt+),

колеблется синусоидально с угловой частотой 2ω, имея амплитуду, равную UI.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения энергии электрического поля емкости.

Энергия электрического поля емкости согласно (1.8а)

изменяется периодически с угловой частотой 2 в пределах от 0 до (рисунок 2.12).

Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле емкости, а затем возвращается к источнику при исчезновении электрического поля. Энергия электрического поля достигает максимума при максимальном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как и в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем средняя мощность Р = 0.

Так как максимальное значение энергии, запасаемой в электрическом поле, равно W_Cmax= CU², то емкостное сопротивление X_C = может быть определено как X_C = .

15.

Однофазный синусоидальный ток. Последовательные соединения R,L,C. Временные и векторные диаграммы. Треугольник напряжений.

Синусоидальный ток, переменный ток, являющийся синусоидальной функцией времени вида: i = I_m sin (wt + j), где i — мгновенное значение тока, Im — его амплитуда, w — угловая частота, j — начальная фаза. 

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, С

При прохождении гармонического тока i = I_mcosωt через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.13), на зажимах этой цепи создается гармоническое напряжение, равное алгебраической сумме гармонических напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

и = u_R + и_L + u_C.

Напряжение u_R на сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение u_L на индуктивности L опережает, а напряжение и_C на емкости С отстает от i на /2 (рисунок 2.14).

Следовательно, напряжение и на зажимах всей цепи равно:

u = U_mcos(ωt + ) = RI_mcosωt + LI_mcos(ωt + ) +

+ I_mcos(ωt ) = RI_mcosωt+(L )I_mcos(ωt+ ) (2.15)

Уравнение (2.15) представляет тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. Входящая в него величина Х =Х_L  Х_C = ωL  называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (Х > 0) или емкостный (Х < 0) характер. В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопротивление R всегда положительно.

Для нахождения U и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.15). На рисунке 2.15, а показан случай, когда Х > 0, и на рисунке 2.15, б случай; когда Х < 0.

Падение напряжения от тока в активном и реактивном сопротивлениях изображается катетами прямоугольного треугольника напряжения 0аb, гипотенуза которого изображает напряжение на зажимах цепи. Отсюда

U =

или .

Полученное выражение показывает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напряжения на зажимах цепи и тока, проходящего через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

U = zI; U_m = zI_m^,

где величина z = (2.16)

называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей. Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

(2.17)

Если задано напряжение u = U_mcos(ωt+) на зажимах цепи с последовательно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле i = cos(ωt+) Угол φ, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси ωt в направлении от напряжения к току и является углом острым., прямым или равным нулю || .

Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при Х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения, и φ отсчитывается в положительном направлении: на временной диаграмме вправо от напряжения к току (рисунок 2.16, а), а на векторной диаграмме против хода часовой стрелки от тока к напряжению U (рисунок 2.15, а).

Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при X < 0, при этом ток опережает по фазе напряжение, и φ отсчитывается в отрицательном направлении: на временной диаграмме влево от напряжения к току (рисунок 2.16, б), а на векторной диаграмме  по ходу часовой стрелки от тока I к напряжению U (рисунок 2.15, б).

Итак, следует всегда помнить, что угол  положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе. На временной диаграмме угол отсчитывается от напряжения к току, а на векторной диаграмме  от тока к напряжению.

Ток совпадает с напряжением по фазе при X = X_L  x_C = 0, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений (гл. 7).

Из выражений (2.16) и (2.17) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:

R = zcos; x = zsin. (2.18)

Умножив правые и левые части выражений (2.18) на действующее значение тока I, получим действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, изображаемые катетами треугольника напряжений и называемые активной и реактивной составляющими напряжения:

U_a = RI = zcos_I = Ucos,

U_p = XI = zsin_I = Usin. (2.19)

Мгновенные значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически в соответствии с (2.15), имеют фазовый сдвиг /2. Поэтому непосредственное сложение действующих значений этих функций не дает действующего значения напряжения на всей цепи; как видно из треугольника напряжений и уравнений (2.19), активная и реактивная составляющие напряжения связаны с действующим значением суммарного напряжения формулой

U = .

Если все стороны треугольника напряжений разделить на I, то получится прямоугольный треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.17, а, б).

Треугольник сопротивлений представляет геометрическую интерпретацию уравнений (2.16) и (2.17). Его положение не зависит от начальных фаз напряжения и и тока i: сопротивление R откладывается по горизонтальной оси вправо (в положительном направлении), а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается вверх (X > 0) или вниз (X < 0). Угол  в треугольнике сопротивлений отсчитывается от катета R к гипотенузе z, что соответствует отсчету в треугольнике напряжений от U_а = RI к U = zI.

Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений, пользуются понятием добротности катушки Q_L = X_L/R, которое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз  для катушки. Чем меньше сопротивление R, тем выше при прочих равных условиях добротность катушки.

Добротность индуктивных катушек, применяемых в диапазоне частот от 1 кГц до 100 МГц, обычно составляет Q_L = 50…500.

16. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, С

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = U_mcosωt, то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = i_R + i_L + i_C.

Ток i_R в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и, ток i_L в индуктивности L отстает, а ток i_C в емкости С опережает напряжение на /2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

i = I_mcos(ωt  ) = U_mcosωt + U_mcos(ωt  ) +

+ ωСU_mcos(ωt + ) = U_mcosωt + (  ωC)U_mcos(ωt  ). (2.20)

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина b = b_L  b_C =  C называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b активная проводимость g = l/R всегда положительна.

Для нахождения I_m и  воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами I_R и [I_L+I_C] и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0, а на рисунке 2.20, б − для b < 0.

Из треугольника токов следует, что или I = yU; I_m=yU_m

Здесь (2.21)

полная проводимость рассматриваемой параллельной цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

 = arctg = arctg . (2.22)

Если задано напряжение и = U_mcos(ωt + ) на зажимах цепи с параллельно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле

i = yU_mcos(ωt +   ).

Угол , как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме  от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

|| .

Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0; при этом ток отстает по .фазе от напряжения. Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b < 0; при этом ток опережает по фазе напряжение. Ток совпадает с напряжением по фазе при b = b_R  b_C = 0, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2.21) и (2.22) следует, что активная и реактивная проводи­мости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

g = ycos; b = уsin. (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U, получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Ia = gU = ycosU = Icos;		(2.24)
Ip = bU = ysinU = Isin.

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

I = .

Разделив стороны треугольника токов на U, получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b < 0). Угол  в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g, что соответствует отсчету  в треугольнике токов от I = yU к I_a = gU.

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора Q_C = b/g = ωC_R, которое равнозначно тангенсу угла || конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tg = l/Q_C (угол диэлектрических потерь  дополняет угол || до 90°).

Чем больше сопротивление R, тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические.

Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.

17 Мощность в цепи гармонического тока

Ранее рассматривались энергетические соотношения в отдельных элементах R, L и С при гармоническом токе.

Разберем теперь более общий случай участка электрической цепи, напряжение на котором равно u = U_mcosωt, а ток i = I_mcos(ωt  ).

Мгновенная мощность, поступающая в цепь,

p = U_mI_mcostcos(ωt  ) = UI[cos+cos(2ωt  )]. (2.25)

состоит из двух слагающих: постоянной величины IUcos и гармонической, имеющей удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.

Среднее значение второй слагающей за время Т, в течение которого она совершает два цикла изменения, равно нулю. Поэтому средняя мощность, поступающая в рассматриваемый участок цепи,

. (2.26)

Множитель cos носит название коэффициента мощности.

Как видно из (2.26), активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности.

Чем ближе угол  к нулю, тем ближе cos к единице и, следовательно, тем меньше требуется величина тока I, при которой заданная средняя мощность Р при данном напряжении U будет передана от источника к приемнику.

Повышение коэффициента мощности промышленных электроустановок представляет важную технико-экономическую задачу.

Выражение средней мощности может быть преобразовано с учетом (2.18) и (2.23):

Р = zI²cos = RI²;

Р = yU²cos = gU².

Активная мощность может быть также выражена через активную составляющую напряжения (U_a = Ucos) или тока (I_а = Icos):

P = U_aI; P = UI_a.

Рассмотрим более общий случай активно-реактивной цепи, например цепи, содержащей сопротивление и индуктивность; при этом

0 <  < и 0 < cos< 1.

Согласно (2.25) мгновенная мощность колеблется с удвоенной угловой частотой 2 относительно линии, отстоящей от оси времени на P = UIcos (рисунок 2.22).

В промежутки времени, когда и и i имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна; энергия поступает от источника в приемник, преобразуясь в сопротивлении в тепло и запасаясь в магнитном поле индуктивности.

В промежутки времени, когда и и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна и энергия частично возвращается приемником источнику. Как видно из рисунка 2.22, в течение большей части периода мгновенная мощность положительна и соответственно положительная (расположенная над осью времени) площадь кривой р преобладает над отрицательной площадью кривой р. В результате активная мощность Р > 0.

Аналогичная картина получается и в случае активно-емкостной цепи.

В электрических системах, в которых источниками электрической энергии являются генераторы переменного тока, мощность получается от первичных двигателей, приводящих генераторы во вращение. В радиотехнике и электронике, где гармонические колебания создаются с помощью электронных или полупроводниковых приборов, мощность получается от источников постоянного тока, питающих электронные генераторы или другого рода устройства.

Величина, равная произведению действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи

S = UI, (2.27)

называется полной мощностью цепи и измеряется в вольт-амперах (ВА). Следует заметить, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (2.25) численно равна полной мощности.

На основании (2.26) и (2.27) коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной:

cos = .

При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются также понятием реактивная мощность, которая вычисляется по формуле Q = UIsin и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока.

Эта мощность измеряется в реактивных вольт-амперах (вар).

Очевидно,

S² = P² + Q²; sin = ; tg = .

Выражение реактивной мощности может быть преобразовано с учетом (2.18) и (2.23):

Q = zI²sin = xI²;

Q = yI²sin = bU².

Реактивная мощность может быть также выражена через реактивную составляющую тока (I_р = Isin) или напряжения (U_p = Usin): Q = UI_p; Q = U_pI.

В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла  реактивная мощность положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка) .

Понятия активная (средняя), реактивная и полная мощности являются удобными определениями мощностей, которые прочно укоренились на практике.

Реактивная мощность, подводимая к индуктивности, может быть представлена в следующем виде

,

где W_Lmax  максимальное значение энергии, периодически запасаемой индуктивностью.

Реактивная мощность, подводимая к конденсатору, равна

Q_С = Uisin(- ) = -UI = -ωCU² = -ω = -ωW_Cmax,

где W_Cmax – максимальное значение энергии, периодически запасаемой емкостью.

Реактивная мощность на зажимах цепи, содержащей индуктивность и емкость, пропорциональна разности максимальных значений энергии в магнитном и электрических полях:

Q = ω(W_Lmax  W_Cmax). (2.28)

В таблице 2.1 дана сводка уравнений основных элементов цепи в общей форме (дифференциальной, интегральной) и при гармоническом режиме для мгновенных и действующих значений.

В таблице 2.2 приведены выражения полных сопротивлений и проводимостей цепи для различных сочетаний элементов R, L, C и соответствующие им значения tg.