Модель, оригинал, структурная модель

Одним из основных понятий современной науки (важность которого осознается все полнее) является понятие модели. Когда архитектор вместо настоящего дома строит его макет, то это уже модель. Если представлен только чертеж дома, то это тоже модель, но в другом исполнении, в другой субстанции. И, наконец, если нет ни макета, ни чертежа дома, а есть только колонки цифр и формул, на основании которых можно судить о важнейших особенностях построенного дома, то и это тоже модель. По отношению ко всем своим моделям реальный дом будет служить оригиналом. В самом общем случае под термином «модель» следует понимать некоторый сложный объект, определенным элементам которого можно поставить в соответствие элементы другого сложного объекта — оригинала; при этом взаимосвязям и отношениям между элементами оригинала соответствуют некоторые взаимосвязи или отношения между определенными элементами модели.

Совершенно ясно, что степень соответствия количества элементов модели количеству элементов оригинала и степень подобия типов структурных схем модели типам структурных схем оригинала может быть различной. Следовательно, можно говорить о том, что одна модель больше соответствует оригиналу, чем другая. В частности, субстанция элементов модели может быть той же, что и субстанция элементов оригинала, но может и не иметь с ней ничего общего. Например, дом может быть кирпичным, а его модель в виде чертежа представлять собой графитный след карандаша на бумаге.

Как мы уже говорили, анализ свойств систем чаще всего целесообразно начинать с анализа структуры этих систем. Следовательно, и на модели можно отразить только структуру, только схему отношений между элементами системы. Такая модель будет называться структурной моделью системы. Поскольку при выявлении структуры системы можно и нужно отвлекаться от свойств субстанции (отразив, если требуется, и субстантные свойства в микроструктурных характеристиках элементов), то структурную модель принципиально можно строить из субстанции, не имеющей ничего общего с субстанцией оригинала. Даже наоборот, отвлечение от свойств субстанции оригинала с помощью структурной модели позволяет полностью сосредоточиться .на структурных особенностях оригинала, отраженных в структурной модели, поэтому субстанция структурной модели должна быть такой, чтобы субстантные свойства ее элементов не отвлекали внимание человека от особенностей моделируемой структуры. Следовательно, структурная модель должна быть по возможности ближе к бестелесной, «чистой абстракции» — такой, как чертеж, условные символы, цифры, термины.

В свете ранее сказанного понятно, что математики, логики и математические логики фактически имеют дело лишь со структурными моделями исследуемых объектов, либо исследуют структурные модели «сами по себе», если еще не обнаружены реальные сложные объекты, имеющие те структуры, которые уже теоретически известны математикам «или логикам.

Предмет математики

Математика, как и другие науки, изучает действительный, материальный мир, объекты этого мира и отношения между ними. Однако в отличие от наук о природе, исследующих различные формы движения материи (механика, физика, химия, биология и т. д.) или формы передачи информации (информатика, теория автоматов и другие разделы кибернетики), математика изучает формы и отношения материального мира, взятые в отвлечении от их содержания. Поэтому математика не изучает никакой особой формы движения материи и, следовательно, не может рассматриваться как одна из естественных наук.

Во второй половине XIX в. Ф. Энгельс дал следующее определение предмета математики: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». При этом он указывал: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и y, постоянные и переменные величины»

Из этих слов Энгельса вытекает, что исходные понятия математики, бывшие предметом изучения с самого зарождения математической науки, — натуральное число, величина и геометрическая фигура — заимствованы из действительного мира, являются результатами абстрагирования отдельных черт материальных объектов, а не возникли путем «чистого мышления», оторванного от реальности. В то же время, для того чтобы стать предметом математического исследования, свойства и отношения материальных объектов должны быть абстрагированы от их вещественного содержания.

Таким образом, специфика математики состоит в том, что она выделяет количественные отношения и пространственные формы, присущие всем предметам и явлениям, независимо от их вещественного содержания, абстрагирует эти отношения и формы и делает их объектом своего исследования.

Приведенное выше определение предмета математики было дано Ф. Энгельсом более 100 лет назад. Протекшее с тех пор столетие характеризуется бурным развитием естественных и общественных наук, невиданным ростом техники, возникновением новых областей знания. Сейчас происходит математизация многих областей знания, до того считавшихся чисто гуманитарными (лингвистика, социология, экономика). Появление быстродействующих вычислительных машин усилило интеллектуальную мощь человека при выполнении вычислительных и логических процедур. Необходимость решать новые задачи повлекла за собой создание новых областей математики (топология, общая алгебра, функциональный анализ, математическая логика и т. д.) и перестройку всего здания математики, качественное изменение взглядов на роль и сущность этой науки, на ее место среди других наук. В результате указанных процессов оказалось необходимо уточнить данное Ф. Энгельсом определение математики.