
- •Система, структура, субстанция
- •Связь структуры с субстанцией
- •Модель, оригинал, структурная модель
- •Предмет математики
- •Характерные черты математики
- •Основные этапы развития математики
- •I. Зарождение математики
- •II. Математика постоянных величин
- •III. Математика переменных величин
- •IV. Современный период развития математики
- •Характерные черты современной математики и перспективы ее развития
- •Математические методы познания Математика и действительность
- •Математические модели действительности
- •Понятия числа, фигуры и множества как примеры математических моделей
- •Абстракция отождествления
- •Идеализация и ее роль в математике
- •Аксиоматический метод в математике
Аксиоматический метод в математике
Поскольку математика изучает формы и отношения, отвлекаясь от их содержания, все математические доказательства проводятся путем логического рассуждения. Но если теорема А выводится из теоремы В, а теорема В — из теоремы С и т. д., то получается «бесконечное возвращение назад». Такая же ситуация возникает при попытке давать определения новым понятиям, основываясь на ранее введенных понятиях. Чтобы избежать такого «бесконечного возвращения назад», применяют следующий метод: некоторые понятия и связывающие их отношения считают неопределяемыми, исходными, а все дальнейшие понятия и их свойства выводят из исходных путем точных определений и логических рассуждении. Подобный стиль построения научных дисциплин получил название аксиоматического метода. Как уже говорилось выше, первой дошедшей до нас попыткой такого изложения математической дисциплины была книга Евклида «Начала».
В настоящее время аксиоматический метод стал одним из основных при построении математических моделей действительности. Как пишут наиболее верные приверженцы этого метода — группа авторов Н. Бурбаки, «аксиоматический метод берет за точку опоры убеждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым искусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техническая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию». Далее они пишут: «В доказательствах какой-либо теории аксиоматика стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждении; затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и изучает, как они взаимодействуют между собой».
Такой метод приводит к тому, что свойства и отношения, казавшиеся совершенно различными, оказываются лишь различными формами одних и тех же свойств и отношений, имеющих место в абстрактной системе, воплощениями которой являются данные конкретные системы. Это позволяет получать из каждой теоремы о соответствующей абстрактной системе ряд теорем, касающихся различных моделей этой системы.