Абстракция отождествления

Построение любой математической модели начинается с абстрагирования. Процесс абстрагирования в математике имеет свои характеристические особенности, он отличен во многом от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования в науке зависят от природы изучаемых объектов, характера и целей их изучения.

Наиболее распространенными видами абстракций в математике являются: абстракция отождествления (обобщающая), идеализация и различные абстракции осуществимости.

Основные особенности абстракции отождествления хорошо видны на описанном выше процессе формирования понятия числа. Такая абстракция начинается с установления отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов. При установлении отношения эквивалентности в каком-нибудь множестве эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.

Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить биективное соответствие. В результате этого отождествления от множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, присущее всем множествам этого класса и не присущее никаким иным множествам. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств данного класса.

Поскольку при абстракции описанного вида множества, предметы • и т. п. отождествляются по определенному свойству или набору свойств, общему для всех объектов, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, такая абстракция получила название абстракции отождествления. Абстракция отождествления применяется не только в математике, но и в других науках при создании общих понятий.

Идеализация и ее роль в математике

Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительности широко используется и такой специфический прием абстрагирования, как идеализация.

Здесь под идеализацией понимается образование новых понятий, которые наделены не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов. Как уже отмечалось выше, такой метод моделирования применяется и в других науках (например, при замене физического маятника математическим).

Многие исходные понятия различных областей математики представляют собой такие идеальные понятия. Нигде в природе не встречается «геометрическая точка», не имеющая размеров, но попытка построения геометрии, не использующей этого понятия, не приведет к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без таких идеализированных понятий, как прямая линия, плоскость, шар, параллелограмм и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности, но если бы геометры стали заниматься такими выбоинами и неровностями, они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара. Эта формула в применении к реальным фигурам, похожим на шар, дает некоторую погрешность, но полученный приближенный ответ достаточно точен для практических потребностей.

В геометрии к полученным после идеализации геометрическим фигурам применяют далее абстракцию отождествления. Так, отождествляя все шары, получают общее понятие шара, отождествляя все треугольники, — общее понятие треугольника и т. д.

Связь идеальных объектов математики с действительностью более сложна, чем в естественных науках. Это явилось причиной многочисленных попыток неправильного истолкования предмета математики, отрыва ее от реального мира. Например, некоторые биологи считали применение математических методов в биологических науках «идеалистически-математическим». Развитие науки опровергло эти заблуждения.

Попытки исказить природу математического знания возникали и внутри самой математики. Например, авторы, пишущие под псевдонимом Бурбаки, полагают, что «то, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого...».

Если вспомнить, что основные понятия математики уходят своими корнями в реальный мир, то вряд ли можно удивляться, что они оказываются полезными при исследовании этого мира. И разумная идеализация реальных объектов и процессов — мощный метод познания действительности. В целом можно сказать, что идеализация используется прежде всего там, где сложность реальных явлений или процессов мышления представляет значительные трудности для исследования.

Особым видом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например, при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможно написать или назвать число, содержащее слишком много (например 10¹⁰⁰⁰) десятичных знаков. Всякий раз, когда мы доходим до некоторого числа п, допускается возможность написания и следующего за ним числа п + 1. Точно так же при изучении геометрии вводится абстракция потенциальной осуществимости безграничного деления геометрических фигур, при которой пренебрегают тем, что реальные тела имеют молекулярную структуру.

Абстракция потенциальной осуществимости приводит к абстракции потенциальной бесконечности. Натуральный ряд чисел мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его построения незавершим, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностями для осуществления следующего шага.

Можно мыслить натуральный ряд чисел и как законченный объект, что соответствует другой абстракции — актуальной бесконечности.

Перечислим важнейшие особенности математической абстракции, отличающие процесс абстрагирования в математике от аналогичного процесса в иных науках:

а) По сравнению с естествознанием процесс абстрагирования в математике идет значительно дальше. В известном смысле слова можно сказать, что там, где естествознание останавливается, математическое исследование только начинается.

б) Абстрагирование в математике чаще всего выступает как многоступенчатый процесс. Поэтому в математике весьма часто встречаются абстракции от абстракций.

в) Во всей истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее абстракций: на первом этапе отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов, на втором стали отвлекаться от конкретных чисел и величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретного смысла отношений между ними.

г) В математической абстракции широко используются идеальные объекты.

д) Многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

Математические абстракции являются важным моментом в познании действительности. Как уже отмечалось выше, широкое использование в математике абстрактных понятий приводит к использованию для их изучения особых методов познания. Одним из важнейших методов познания в математике является аксиоматический метод.