Завдання № 2 Розрахунок статично невизначених стрижньових систем на міцність при розтягуванні й стисненні

2.1 Зміст завдання

Дане завдання складається з двох задач:

Задача 1. Провести розрахунок статично невизначеної стрижньової системи при дії заданого навантаження й з умови міцності визначити площі поперечних перерізів стрижнів. Матеріал стрижнів сталь Ст. 3.

Задача 2. Для статично невизначеної стрижньової системи визначити температурні напруження, які виконують в стрижнях системи при нагріванні одного зі стрижнів на . Матеріал стрижнів сталь Ст. 3.

2.2 Методичні вказівки до виконання задач 1, 2

2.2.1 Визначити ступінь статичних невизначеності стрижньової системи.

Ступінню статичної невизначеності називається різниця між загальними числом невідомих і кількістю незалежних рівнянь рівноваги, які можна скласти для даної системи.

2.2.2 Використовуючи метод перерізів, скласти необхідне число рівнянь рівноваги, в які б не входили реакції плоского шарніру.

2.2.3 Розглянути деформований стан стрижньової системи й скласти додаткові рівняння спільності переміщень, кількість яких дорівнює ступені статичної невизначеності даної системи.

Для складання додаткових рівнянь необхідно розглянути деформації стрижньової системи й встановити взаємозв’язок між цими деформаціями. Потім, використовуючи закон Гука, деформації стрижнів слід виразити через зусилля і розміри стрижнів

де – зусилля в стрижні,

– довжина стрижня,

– площа поперечного переріз стрижня,

– модуль повздовжньої пружності матеріалу стрижня.

Абсолютна величина деформації стрижня, викликана зміною його температури визначається за формулою

де – температурний коефіцієнт лінійного розширення матеріалу стрижня,

– зміна температури стрижня,

– довжина стрижня.

2.2.4 Спільним розв'язком рівнянь статики й додаткових рівнянь визначити зусилля в стрижнях в залежності від прикладених зовнішніх сил або від зміни температури.

2.2.5 Для задачі №1 розділити знайдені зусилля на відповідні площі поперечних перерізів стрижнів та записати в загальному вигляді вираз для напружень в стрижнях.

Для найбільш напруженого стрижня з умови міцності

визначити мінімально необхідну площу поперечного перерізу

де – зусилля в стрижні,

– допустиме напруження для матеріалу стрижнів, яке визначається за формулою

де – границя текучості матеріалу стрижню,

– коефіцієнт запасу міцності за границею текучості.

Після визначення площі поперечного переріз найбільш навантаженого стрижня за заданими співвідношеннями знаходяться площі поперечних перерізів інших стрижнів.

2.2.6 Для задачі №2.2 температура напруження в стрижнях системи обчислюються за формулою

де – зусилля в стрижні від зміни температури,

- задана площа поперечного перерізу стрижню.

2.2.7 Номер варіанту для виконання задач 1, 2 взяти з таблиць № 3,4 згідно свого порядкового номеру.

Таблиця № 3
№		Номер рисунку
			кН		кН/м		м								МПа
		1	100				2		1,5		1,2		1,3
		1			50		1		1,2				1,6
		1	60		70		1,5		1,6				1,5
		1			60		1		1,1				1,4
		1	90				1,2		1,3				1,6
		1	110		40		1,1		1,5				1,3
		1	80				1,6		1,8				1,5
		1			90		1,5		1,2				1,6
		1	120		60		1,2		1,3				1,4
		1			80		1		1,5				1,5
		1	100		50		2		1,6				1,3
		1	70		60		1,5		1,4				1,6
		1			70		1,4		1,2				1,7
		1	130		40		2		1,3				1,5
		1	90		60		1		1,4				1,6
		1	110				1,8		1,5				1,3
		1	150				2		1,2		1,6		1,5
		1			90		1,5		1,6				1,4
		1	120				1,6		1,1				1,6
		1	80		50		1,8		1,3				1,7
		1	100		70		2		1,5				1,5
		1			80		1		1,2				1,4
		1			100		1,5		1,4				1,6
		1	90		50		1,6		1,1				1,7
		1	140				3		1,3		2,0		1,5
		1	110		60		2		1,6				1,6
		1	70		40		1,5		1,5		1,1		1,4
		1	130				1,2		1,4				1,3
		1	60				1,8		1,3		1,1		1,5
		1	100		70		1,6		1,2				1,7
		1	90				2		1,8				1,4
		1	80		60		1		1,7				1,6
Таблиця № 4
№		Номер рисунку		Нагрітий стрижень
								м		м2						град-1
		2		2		60		1		4		2
		2		1		50		1,5		3		1,5
		2		2		70		1,2		5		1,2
		2		1		55		2		7		1,4
		2		2		65		1,6		4,5		1,3
		2		1		75		1,8		3,5		1,1
		2		2		80		1,4		6		1,6
		2		1		55		2,2		5,5		1,8
		2		1		90		2		2,5		1,3
		2		2		60		1,5		3,6		1,7
		2		1		50		2,4		5,4		1,2
		2		2		100		1,2		4,4		1,5
		2		1		70		1		2,8		1,4
		2		2		45		1,7		6,6		1,8
		2		1		55		2,4		4,8		1,1
		2		2		95		2		3,6		1,7
		2		1		110		3		5,2		1,3		1,2
		2		2		85		1,6		4,2		1,6
		2		1		75		1,4		3,8		1,5
		2		2		60		2,5		5,6		1,4
		2		1		90		1		3,2		1,8
		2		1		55		2		6,2		1,3
		2		2		80		1,6		3,0		1,7
		2		1		65		1,4		2,8		1,4
		2		2		100		2,2		4,0		1,2		1,4
		2		2		95		1,8		5,2		1,5
		2		3		70		1,3		6,4		1,3		1,1
		2		1		85		2		2,6		1,2
		2		3		60		2,8		5,8		1,5		1,7
		2		2		75		2,4		4,2		1,6
		2		2		110		1,6		3,0		1,4

2.3 Приклад виконання задачі 1 завдання № 2

Шарнірно закріплена, жорстка невагома балка зв’язана з двома пружинними стрижнями. Визначити з умови міцності площі і поперечних перерізів стрижнів 1 і 2, якщо кН, кН/м, м, матеріал стрижнів сталь Ст. 3, для якої , коефіцієнт запасу міцності по межі текучості .

Розв’язання:

Так як невідомимх зусиль чотири, а статика для плоскої системи сил дає три рівняння рівноваги, то дана стрижнева система один раз статично невизначена.

Використовуючи метод перерізів ростинаємо стрижні 1 і 2.

Розглянемо рівновагу балки під дією зовнішніх сил , й реактивних зусиль і в стрижнях 1 і 2.

Так як для розрахунку необхівні лише зусилля в стрижнях, то вкористовуємо лише одне рівнянн статики:

Підставляючи в дане рівняння значення відповідних величин послідовно сплощуючи отримаємо:

Оскільки дана стрижнева система один раз статично невизначена, то для визначення реактивних зусил в стрижнях необхідно скласти одне рівнянн спільності деформацій.

Для складання додаткового рівняння спільності переміщень зобразимо деформоване положеня системи.

Внаслідок малості деформації переміщення по дугах заміняємо переміщення по хордах.

З подібності трикутників й в передаченні малості деформацій випливають наступні співвідношення:

З трикутнкиа знаходимо :

де абсолютне укорочення стрижня 1, тому

З трикутника знаходимо :

де абсолютне подовження стрижня 2, тому

Підставимо отримані вирази для і у вихідне рівняння й, враховуючи, що й , отримаємо:

Спрощуючи, отримаємо:

Рівняння (2) – це рівняння спільності переміщень.

Виражаючи абсолютні деформації й у відповідності з законом Гука через повздовжні зусилля й отримаємо:

Довжина стрижнів 1 і 2 відповідно рівні:

Площі поперечних перерізів стрижнів за умовою задачи пов’зяні співвідношенням:

Підставимо отримані вирази у вихівдне рівняння:

Спростивши це рівняння, отримаємо:

Підставляємо отримане значення в рівняння статики (1):

звідки знаходимо значення повздовжнього зусилля в стрижні 2:

Повздовжнє зусилля в стрижні 1 рівне:

Поділивши отримані зусилля на площі, знайдемо в загальному вигляді вирази для напружень:

Звідси випливає, що найбільш напруженим буде другий стрижень.

Складемо умову міцності для другого стрижня:

стрижнів 1 і 2.

З умови міцності визначаємо площу поперечного перерізу стрижня 2.

Площа поперечного перерізу стрижня 1 рівна:

2.4 Приклад виконання задачі 2 завдання № 2

Досить жорстка, невагома, шарнірно закріплена в стіні балка підтримується двома сталевими стрижнями. Стрижень 2 нагрівається на в порівнянні з температурою монтажу системи. Визначити температурні напруження, які виконуєть в стрижнях 1 і 2, якщо , коефіцієнт лінійного розширення , модуль повздовжньої пружності .

Розв’язання:

Стрижньова система один раз статично невизначена – для плоскої системи сил статика дає три рівняння рівноваги, а невідомих зусиль чотири – дві реакції в шарнірі й зусилля в стрижнях 1 і 2.

Використовуючи метод перерізів, розтинаємо стрижні 1 і 2.

Складаємо рівняння рівноваги системи, яка зв’зує лише зусилля в стрижнях.

Підставимо в дане рівняння значення , отримаємо:

Оскільки стрижньова система один раз статично невизначена, то для визначення зусиль в стрижнях потрібно скласти одне рівняння спільності переміщень.

Деформований стан системи отримується наступним чином.

Якщо б стрижень 2 не був пов’язаний через брус зі стрижнем 1, то при нагріванні його на він подовжився б на величину . В даній стрижньовій системі стрижень 1 перешкоджає вільному подовжненню стрижня 2, в результаті стрижень 2 пружно стиснеться на величину .

Проте, хоча в цілому стрижень 2 подовжиться, він буде стискатись.

Подовження стрижня 2 виклика стиснення стрижня 1 на величину . В стрижні 1 виникає стрискаюче зусилля.

З подібності трикутників в передбаченні малості деформацій, можна замисати наступне співвідношення:

З трикутника знаходимо :

Катет в трикутнику рівний:

Підставимо отримані вирази у вихідне рівняння й враховуючи, що , , отримаємо:

Підставляючи значення в дане рівняння от маємо:

Рівняння (2) – рівняння спільності переміщень.

Запишемо температурну деформацію стрижня 2 у вигляді , а абсолютні деформації у відповідності із законом Гука через повздовжні сили .

Маємо

Довжина стрижня 1 рівна:

Підставимо відповідні значення величин в дане рівняння й, спрощуючи його, отримаємо:

Тобто зусилля стиснення в стрижні 2 рівне:

Зусилля в стрижні 1 рівне:

Визначаємо температурні напруження в стрижнях 1 і 2: