- •Теория массового обслуживания
- •6. 1. Одноканальная система с отказами
- •6.2. Многоканальная система с отказами
- •7. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •7.1. Одноканальная система с неограниченной очередью
- •7.2. Многоканальные смо с неограниченной очередью
- •7.3. Смо с ограниченной очередью
- •7.4. Смо с ограниченным временем ожидания
- •8. Основы статистического моделирования
- •9. Практическое применение теории массового обслуживания
7.2. Многоканальные смо с неограниченной очередью
Пусть имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживания – интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.
Система может находится в одном из состояний S1, S2, …, Sk , …, Sn, …, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 – в системе нет заявок (все каналы свободны), S1 – канал занят, S2 – заняты два канала, остальные свободны,…, Sk – занято k каналов, остальные свободны,…, Sn – заняты все n каналов (очереди нет); Sn+r – заняты все n каналов, r заявок в очереди.
Граф этой системы изображен на рисунке:
Интенсивность потока обслуживания по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины μ до величины nμ, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. Когда число заявок в системе больше n, интенсивность потока обслуживания сохраняется раной nμ.
В том случае, когда , очередь неограниченно растет. Из соотношения следует? что предельные вероятности существуют.
, ,…,,…,,…,,…,
Для n-канальной СМО с неограниченной очередью можно найти:
вероятность того, что заявка окажется в очереди:
;
среднее число занятых каналов:
;
среднее число заявок в очереди:
;
среднее число заявок в системе:
;
относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди заявок может быть задана например следующим образом:
среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе вычисляются также по формулам Литтла.
Для систем с неограниченной очередью при ρ<1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк=0, относительная пропускная способность Q=1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, те. А=λ.
Пример. В супермаркете к расчетному центру поступает поток покупателей с интенсивностью λ=81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя равна =2 мин. Определить минимальное количество контролеров-кассиров nmin при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = nmin.
Решение. По условию λ=81 (1/ч)= 81/60=1,35 (1/мин). Тогда
.
Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии, что ρ/n<1, т.е. при n>ρ=2,7. Таким образом, минимальное число кассиров nmin=3.
Найдем характеристики СМО при n=3. Вероятность того, что в центре расчета будет очередь:
.
(Вычисление предельных вероятностей опускаем, как заранее вычисленные, p0 = 0,025); среднее число покупателей, находящихся в очереди:
;
среднее время ожидания в очереди:
мин.
Среднее число покупателей в узле расчета:
,
а среднее время нахождения покупателей в центре расчета:
мин.
Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей:
;
коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров:
.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А =1,35 (1/мин), или 81 (1/час), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.