6. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Функция f(х), область определения – множество всех натуральных чисел, хϵN; f(1), f(2), …, f(n)-числовая послед.. Совокупность значений функции натурального аргумента, записанная в порядке возрастания, называется числовой последовательностью: x1, x2, …; y1, y2, …; xn, yn – общие члены последовательности.
Числовая последовательность считается заданной, если известны правила образования ее членов, позволяющих вычислить значение члена xn. xn=1/n2, 1; ¼; 1/9;…
Члены числовой последовательности можно изобразить точками числовой оси Х.
Число А называется пределом числовой последовательности xn. Если для любого сколько угодно малого положительного числа Е (эпсил), найдется такой номер N, что все значение xn, для которых n>N, удовлетворяю неравенству |xn-A|<E. Называют сходящейся или расходящейся с геометрической точки зрения |xn-A|<E, где n>N, равносильно неравенству: A-E<xn<A+E. (A-E; A+E) – называют эпсилом окрестности точки А. Из определения предела следует, что в эпсил окрестности точки А попадает бесконечное множество членов, последовательности xn, начиная с номера х1 и не попадает в конечное множество с 1 по N. Значения членов последовательности накапливаются возле точки А. Замечания: 1) если числовая последовательность имеет предел, то он единственный. 2) предел постоянной величины есть сама постоянная величина. 3) числовая последовательность может не иметь предела (xn=(-1)n; -1,1,-1,1,…).
7. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции с бесконечно удаленным аргументом.
Функция
y=f(x),
отрезок [a,
в]. Аргумент х в процессе изменения
может принимать любую последовательность
значений. Если при этом соответствующее
значение ф-ии стремятся к некоторому
числу А, то это число является пределом
f(x),
при х→х0.
Окрестностью точки x0
называется любой интервал (а, в),
содержащий эту точку δ (дельта).
δ-окрестностью x0
называется интервал (x0-δ;
x0+δ).
Число А называется пределом f(x),
при х→х0
,
если для любого сколько угодно малого
положительного числа E
найдется положительное число δ, такое,
что для всех х≠х0
и удовлетв. неравенству |x-x0|<δ.
Справедливо
неравенство:
|f(x)
– A|<E,
A=
.
Для предела функции справедливы
замечания 1 и 2, сформулированные для
предела числовой последовательности:
справедлив предельный переход в
неравенство. Пусть f(x),
g(x)
на интервале (а, в). Выполняется условие
f(x)≤g(x)
и точка x0
ϵ
(a,
в). Тогда
.
Односторонние
пределы. Предел ф-ии …аргумента.
На интервале (а, в) задана ф-я f(x).
x0
ϵ (а, в). Если х в процессе изменения
стремится к х0,
оставаясь при этом < x0,
то говорят, что х→х0
слева (х→х0
–
0).
Если х→х0
,
оставаясь больше х0,
то говорят, что х→х0
справа
(х→х0+0).
Число А называется левосторонним
пределом у=f(x),
в точке х0,
если A=
.
Число В называется правосторонним
пределом функции f(x),
в точке х0,
если В=
.
Если ф-я f(x)
имеет конечный предел в точке х0
,
то ее односторонние пределы равны
между собой и равны этому пределу,
в противном случае, предел ф-ии в точке
не существует и говорят лишь об
одностороннем пределе. Число А наз-ся
пределом функции f(x),
при х→+∞, если для любого сколько угодно
малого положительного Е найдется такое
число М, что для всех х>М справедливо
неравенство |f(x)-A|<E.
Число А наз-ся пределом функции f(x),
при х→-∞, если для любого сколько угодно
малого положительного Е найдется такое
число М, что для всех х<М справедливо
неравенство |f(x)-A|<E