36. Достаточные условия экстремума.(док-во)

ТЕОРЕМА1: Пусть ф-ия у=f(х) непрерывна на некотором интервале (a;b), содержащем точку х0 и дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), кроме самой точки х0. Тогда если при переходе слева на право через точку х0 производная меняет знак с + на -, то в точке х0 ф-ия имеет мах. Если производная меняет знак с – на +, то в точке х0 ф-ия имеет минимум. Док-во: Пусть х0-критическая точка и f ʹ(х) меняет знак с + на – при переходе через точку х0. Тогда, найдется такое число Е>0, что f ʹ(х)>0, x∈(х0-Е;х0); f ʹ(х)<0, х∈(х0;х0-Е). Тогда, по достаточному признаку монотонности f(х) возрастает на (х0-Е;х0) и убывает на (х0;х0+Е). Следовательно, f(х)< f(х0) для х∈(х0+Е;х0) и f(х) f(х0) для х∈(х0;х0+Е). Таким образом по поределению точка х0-точка максимума.

ТЕОРЕМА2: Если ф-ия у=f(х) дважды дифференцируема в точке х0, если имеет место быть f ʹ(х0)=0, f ʹʹ(х0)≠0, то в точке х0 ф=ия имеет экстремум. Причем, если f ʹʹ(х0)>0, то в точке х0-точка минимума; f ʹʹ(х0)<0, то точка х0-точка максимума. Док-во: f ʹ(х)=0. Предполагая f ʹʹ(х) непрерывной в точке х0 по св-ву непрерывной ф-ии существует окрестность (p;q) точки х0, что f ʹʹ(х)>0 для всех х этой окрестности. По достаточному признаку монотонности f ʹ(х) возрастает на интервале (p;q). f ʹ(х0)=0 и f ʹ(х)-непрерывна в точке х0, а следовательно на интервале (p;q), f ʹ(х)<0, х∈(p;q); f ʹ(х)>0, х∈(х0; q). Тогда, по первому достаточному признаку существование экстремума в точке х0 ф-ия f(х) имеет минимум, т.к f ʹ(х) меняет знак с – на + при переходе через точку х0.

(f ʹ(х0)=0, f ʹʹ(х0)=0 вторым признаком пользоваться нельзя, обратиться к первому).

37. Наибольшее и наименьшее значение функции, дифференцируемой на отрезке.

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, в]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, в]: 1) Найти все критические точки функции в интервале (a, в) и вычислить значения функции в этих точках.2) Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = в. 3) Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

38. Выпуклость и вогнутость графиков ф-ии. Точки перегиба.

График дифференцированной ф-ии у=f(х) на (а;b) наз выпуклым, если на этом интервале он расположен ниже любой своей касательной. График дифференцируемой ф-ии у=f(х) на (а;b) наз вогнутым, если на этом интервале он расположен выше любой своей касательной.

ТЕОРЕМА1(достаточный признак выпуклости и вогнутости): Если ф-ия у=f(х) дважды дифференцируема на (а;b), то: 1) если f ʹʹ(х)>0(для всех х из (а;b)), то график у=f(х) явл вогнутым на интервале (а;b) 2) если f ʹʹ(х)<0(для всех х из (а;b)), то график у=f(х) явл выпуклым на интервале (а;b)

Точка перегиба графика ф-ии f(х) наз точка, при переходе через которую кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.

ТЕОРЕМА2: у=f(х) на (a;b), f ʹʹ(х0)=0, х∈(a;b) и при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак на противоположный . Тогда, в точке х0 график ф-ии у=f(х) имеет перегиб. Замечания! Теорема справедлива так же в случае, когда f ʹʹ(х0) не существует, а сама ф-ия у=f(х) определена.