6.8.Тандемы очередей.

Рассматриваются Пуассоновские процессы в системах, которые характеризуются последовательным распределением узлов обслуживания. Процесс обслуживания заканчивается только после прохождения заявки через все узлы обслуживания.

1. Двухфазная модель с 0-ой вместимостью – модель является одноканальной. Содержит 2 узла обслуживания функционирующих в тандеме. Продолжительности обслуживания в каждом узле распределены одинаково по экспоненциальному закону со средней величиной . Входной поток подчиняется Пуассоновскому распределению со средней величиной .

Вводится условие: недопустимость образования очередей возле узлов обслуживания.

Для построения модели надо идентифицировать состояние системы в произвольный момент времени, когда каждый из узлов может быть занят или свободен. При этом считается, что первый узел заблокирован, если обслуживание здесь завершено, а второй узел не готов к приему заявки, т.к. он занят процедурой обслуживания. Т.к. образование очереди запрещено, то заявка, обслуженная первым узлом, не имеет право на ожидание в промежутке между первым и вторым узлом.

Возможное состояние узлов: 0 – свободен, 1 – занят, b – заблокирован. Множество состояний системы: i – первый узел, j – второй узел.

{(i,j)}={(0;0);(1;0);(0;1);(1;1);(b;1)}. Pij(t)- вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии (i;j), вероятности [t;t+h] перехода из одного состояния в другое:

	(0;0)	(0;1)	(1;0)	(1;1)	(b;1)
(0;0)	1-h		h
(0;1)	h(1-h)	1-h-h		h(1- h)
(1;0)		h(1-h)	1-h
(1;1)		h(1-h)	h	(1- h) (1- h)	h
(b;1)		h(1-h)			1-h

(1-h)- событие не происходит. Заполнение ячеек соответствует невозможным переходам. При k0 составим систему уравнений:

после преобразования этих уравнений и последующего предельного перехода составляется система уравнений для стационарного режима:

одно их этих уравнений является избыточным. В силу того, что P₀₀+P₁₀+P₀₁+P₁₁+P_b1=1 решение системы для стационарного режима имеет следующий вид:

; где

2. k-фазная модель с неограниченной вместимостью блока ожидания – входной поток- Пуассоновский со средним . Требование, поступающие на вход первого узла генерируется источником бесконечно большой мощности. Распределение продолжительности обслуживания – экспоненциально. Длина очереди неограниченна. Каждый узел модели может рассматриваться независимо от других с помощью модели конфигурации: (Mi/Mi/1):(GD//) для i -го узла в стационарном режиме:

; , где n_i=0,1…- число требования в системе, состоящей из одного i-го узла.

Аналогичные результаты справедливы, когда каждый из узлов состоит из нескольких обслуживающих приборов, которые характеризуются одинаковым экспоненциальным распределением продолжительности обслуживания со средним .