6.3.Моделирование входного и выходного потоков в системах массового обслуживания.

Входной поток СМО соответствует «чистому» поступлению. Это означает, что поступившее в систему требование обязательно присоединяется к очереди и не покидает систему, пока не будут обслужены. Для бесконечно малого h0, h>0:

а) n поступлений в течение t единиц времени и ни одного поступления в интервал h

б) n-1 поступлений в течение t единиц времени и одно поступление в интервале h

вместо  используем  - частота поступления заявок:

Решением системы дифференциальных уравнений является функция вида: , что соответствует распределению Пуассона со средним значение дисперсии равным t.

Выходной поток СМО. Процесс на выходе системы рассматривается в предположении, что система начинает функционировать при наличии в ней N – заявок, которые выбывают из нее с частотой . Таким процессы называются процессами чистой гибели. q(n) – вероятность того, что в течение T единиц времени систему покинет n-клиентов.

По аналогии с входным потоком при условии абсолютной случайности исходов для h0:

Решение дифференциального уравнения:

в данном случае – вероятность того, что в системе останется n – заявок по истечении t единиц времени.

6.4.Системы массового обслуживания неограниченной мощности.

(m/m/1):(GD/∞/∞)

Задачи:

1) Необходимо получить конечно-разностное уравнение для функции p_n(t);

2) При соответствующих условиях необходимо перейти к пределам при t∞;3)получить формулу для расчета P_n, соответствующую стационарному режиму исследуемого процесса.

h0,h0:

p( число поступлений в интервале h равно 0)=e^-h

p(одно поступление в интервале h)=1-e^-hh

p(одно выбытие в интервале h)=1-e^-hh

Т.о. P_n(t+h) будет складываться из следующих вероятностей:1) р(в конце интервала t в системе находится n-требований, а в интервале h не происходит ни поступления, ни выбытия); 2) р(в конце интервала t в системе n-1 требование, а в интервал h происходит одно поступление и ни одного выбытия); 3) р(в конце интервала t в системе находится n+1 требование, в интервале h происходит одно выбытие и ни одного поступления). Исходя из свойств входных / выходных потоков вероятность одновременной реализации событий =0.

Для n>0:

По аналогии строим дифференциальные уравнение (h0,h0):

Решение позволяет найти P_n(t), описывающее стохастический процесс, который не обязательно является стационарным. Стационарное решение существует, если <, в этом случае составляется система уравнений:

Распределение является геометрическим

сходимость обеспечивается за счет того, что <1, используя выводы получаем:

(m/G/1):(GD/∞/∞):

Распределение продолжительности обслуживания является произвольным со средним E(t) и дисперсией var(t)=>

(m/m/C):(GD/∞/∞):

Система эквивалентна использованию одного обслуживающего узла, быстродействие которого может меняться, увеличиваться в n-раз при поступлении n-требований в систему. Конечная цель использования C-параллельно включенных узлов есть повышение скорости обслуживания за счет одновременного обслуживания C-клиентов в отличие от системы с одним обслуживающим прибором.

Если n=C, то интенсивность входного потока составляет C*; Если n<C, то интенсивность входного потока (и выходного) n<C, так как не все узлы заняты обслуживанием. Для анализа данной модели используется обобщенная одноканальная модель, для которой интенсивности входного потока  и скорость обслуживания  зависят от n-количества заявок: n, n. Полагаем, что _n=, _n=n при n<C; n=C при n>=C. Справедливы следующие положения:

1) Р(при наличии в системе n требований в интервале h не происходит ни одного поступления)=1-nh;

2) р(при наличии в системе n требований не происходит ни одного выбытия в интервале h)=1-nh;

С учетом того, что на интервале h не может произойти больше одного события, определим:

Рассматривая последовательно эти уравнения для вероятностей P₁,P₂,…т.е. используя индуктивный подход для исследования обобщенной модели, получим:

Для оценки операционных характеристик учитываем _n=n при n<C; n=C при n>=C:

Используя :

Если <<1; то P_o1-; L_q=^C+1/C^2;

Если /С=1, то P_o(с-)(с-1)!/С^с; L_q=/(C-)

Модель самообслуживания (m/m/∞):(GD/∞/∞):

Т.о. сам клиент выступает в роли узла обслуживания, используем вспомогательную многоканальную модель

Величина P_n подчиняется Пуассоновскому распределению со средним E(n)=, т.е. =L_s; L_q=W_q=0; W_s=1/

Даже если процесс нестационарный:

Для нестационарного режима так же характерно Пуассоновское распределение со средним E(n/t)=α. Данные результаты можно использовать для модели (m/m/C):(GD/∞/∞), если С достаточно велико. При малых значениях  модель самообслуживания приблизительно соответствует модели (m/m/C):(GD/∞/∞) даже при небольшом С.