6.1.Основные компоненты и характеристики моделей массового обслуживания.

Концептуально МО выглядит след образом: поступив в обслуживающую систему, заявка присоединяется к очереди ранее поступивших. Обслуживающий узел (прибор) выбирает одну из заявок из очереди и приступает к её обслуживанию. После завершения процедуры обслуживающая система приступает к обслуживанию следующей заявки, причём если она находится в блоке ожиданий (очереди) и цикл повторяется. Переход к обслуживанию следующей заявки происходит мгновенно.

Рисунок 2 – Структура СМО

Основные элементы СМО:

1) заявка на обслуживание:

а) поступающая (входной);

б) выбывающая (выходной поток).

2) механизм обслуживания (обслуживающая система, узел, прибор).

Функциональные возможности СМО определяются следующими факторами:

1) распределение вероятностей моментов поступления заявок (единичных или групповых);

2) распределение продолжительности обслуживания заявок;

3) конфигурация обслуживающей системы (последовательная, параллельная, комбинированная).

4) дисциплина очереди, т.е. порядок, в соответствии с которым заявка подключается к очереди на обслуживание а) ПЕРППО б) ПОСППО в) СОЗ – случайный отбор заявок.

5) приоритетные характеристики определяют способ группировки поступающих требований по критерию приоритетности (система с приоритетом (приоритеты ранжируются), без приоритета).

6) вместимость блока ожиданий (ограниченная, неограниченная).

7) ёмкость источника требований (конечная, бесконечная).

8) Бихевиоральные, т.е. факторы, ассоциируемые с поведением человека. Возможен переход из очереди в очередь, отказ от ожидания. Факторы учитываются только в случае количественного выражения.

Возможно построение стольких вариантов моделей, сколько существует различных комбинаций факторов.

6.2.Роль пуассоновского и экспоненциального распределений в теории массового обслуживания.

Процесс массового обслуживания характеризуется следующими свойствами входных и выходных потоков:

1) Вероятность наступления события (поступление заявок или их выбытие) на интервале времени [t;t+h], зависит, только от величины h, т.е. вероятность наступления события не зависит ни от количества события до момента t, ни от положения t на оси времени, т.е. моделируется стационарный процесс.

2) Вероятность реализации события на бесконечно малом промежутке времени 1>P(h)>0.

3) На отрезке h реализуется не более 1 события.

Эти свойства используются при выводе формулы расчета величины – это вероятность наступления n событий в интервале времени длинной t.

1 свойство – событие являются равновероятными и статистически независимыми. Если n=0, то (*).

2 свойство приводит к 0< <1.

Решением (*) является экспоненциальная функция , , – положительная постоянная, частота наступления событий.

Для .

В силу третьего свойства .

Т.е. вероятность реализации события в интервале h – прямо пропорциональна h величине этого интервала.

Процесс описываемой функцией является рандомизированным, в том смысле, что длина интервала времени в течение которого наступает каждое последующее событие не зависит от времени, которое понадобилось для реализации предшествующего события (свойство отсутствия памяти).

F(t) – это плотность вероятности того, что длина интервала времени между наступлением смежных событий равно t>0.

В соответствии с положением теории вероятности: если Т – это интервал времени прошедший после реализации последнего из наблюдаемых событий, то . т.е. интервал времени между реализациями случайных событий не менее Т, в течение интервала Т событие не реализуется.

(T>0) дифференцируем правую и левую часть:

(T>0) – экспоненциальное распределение.

Вывод:

1) для процесса характеризующего вероятностью интервал времени между смежными событиями распределен экспоненциально или подчинены этому закону.

2) для экспоненциального распределения математическое ожидание т.е. представляет собой среднее значение между моментами наступления последних событий.

3) экспоненциальное распределение обладает уникальным свойством «отсутствие памяти»: время реализации каждого последующего события не зависит от длины временного интервала, на котором имело место предыдущее событие: . S – длина временного отрезка, на котором произошло последнее из наблюдавшихся событий.

Это свойство отражает тот факт, что процесс описываемый функцией является случайным, где распределение величины n на временном отрезке t подчиняется распределению Пуассона.

4) Если интервалы времени между наступлениями последовательных событий в обслуживающей системе распределены экспоненциально, то количество наступивших событий характеризуется распределением Пуассона ( , n=0,1,2…).