12. Комплексная огибающая и ее свойства. Связь с аналитическим сигналом. Представление комплексной огибающей на комплексной плоскости. Спектр комплексной огибающей.

Комплексная огибающая – вид комплексного сигнала, получаемый из аналитического сигнала умножением на комплексную экспоненту с частотой -₀, равной частоте несущей:

= = ,

Комплексная огибающая состоит из действительной и мнимой частей

.

Огибающая A(t) и фаза (t) вещественного сигнала, несущие информацию, вычисляются из квадратурных компонент A_c и A_s комплексной огибающей аналогично вышеизложенному для аналитического сигнала.

Постоянная составляющая w₀t информации не несет, для выделения информации из сигнала, постоянную составляющую нужно убрать. Для этого нужно перейти от аналитического сигнала к комплексной огибающей:

Переход к к.о. - .

Основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей:

1.Произведение аналитического сигнала za (t) на сопряженный ему сигнал z*a (t) равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала a(t). Таким образом, модуль аналитического сигнала za (t) равен просто огибающей сигнала A (t).

2.Спектральная плотность комплексной огибающей A(t) совпадает со смещенной влево спектральной плотностью аналитического сигнала za (t).

3.Корреляционная функция аналитического сигнала является комплексной функцией.

С пектр комплексной огибающей равен спектру аналитического сигнала, сдвинутому влево по оси частот на -₀, то есть в нем присутствуют как положительные, так и отрицательные частоты, но отсутствуют частоты левее -₀.

13. Тригонометрический ряд Фурье. Две формы записи. Расчет коэффициентов ряда.

Рассмотрим систему базисных функций {cos(kw₀t),sin(kw₀t)}. Она является полной и ортогональной на интервале (t₀,t₀+T), где Т – период функций.

Произвольный сигнал конечно мощности S(t) заданный на интервале может быть разложен по данному базису в следующий ряд:

К оэффициенты:

а₀/2 – среднее значение на заданноминтервале.

14. Комплексный (экспоненциальный) ряд Фурье. Представление на комплексной плоскости. Связь с тригонометрическим рядом.

Рассмотрим систему комплексных базисных функций { },

k=0,+-1,+-2… Она является полной и ортогональной на интервале (t₀,t₀+T) , T- период базисной функции.

Произвольный сигнал конечной мощности S(t) заданный на интервале времени, раскладывается по данному базису в ряд:

,где | | - амплитуда, а arctg ( ) – фазовый сдвиг.

.

Геометрическая интерпретация:

А₀=const;

Т ригонометрический ряд и комплексный ряд Фурье связаны формулой Эйлера.

С вязь коэффициента комплексного и тригонометрического р. Фурье:

Каждый период периодического сигнала раскладывается в один и тот же ряд Фурье, т.е. любой периодический сигнал, заданный на бесконечном интервале времени м.б. представлен тригонометрическим или комплексным рядом Фурье, вычисленном на одном периоде при условии, что период сигнала совпадает с периодом базисной функции.