8.Элементарные разрывные функции и их свойства.
1
.Функция
единичного скачка
(функция
Хевисайда),
она же функция включения, равна нулю
для отрицательных значений аргумента
и единице – для положительных. При
нулевом значении аргумента функцию
считают либо неопределенной, либо равно
½:
При умножении на любую функцию включение происходит при t=0.
2
.Дельта-функция
(функция Дирака)
представляет собой бесконечно узкий
импульс с бесконечной амплитудой,
расположенный при нулевом значении
аргумента функции. «Площадь» импульса
равна единице:
Производная функция Хэвисайда определяет дельта-функцию Дирака.
С
игнал
в виде дельта-функции невозможно
реализовать физически, однако эта
функция очень важна для теоретического
анализа сигналов и систем. На графиках
дельта-функции обычно изображается
стрелкой, высота которой пропорциональна
множителю, стоящему перед дельта-функцией.
Одно из важных свойств дельта-функции – фильтрующее свойство. Оно состоит в том, что если дельта-функция присутствует под интегралом в качестве множителя, то результат интегрирования будет равен значению остального подынтегрального выражения в той точке где сосредоточен дельта импульс
3
.Функция
SIGN(t)
С
войства
функции:
- Область определения:
- Функция нечетна.
- Область значений: {-1;0;+1}
- Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны + 1 и - 1 соответственно.
Применяется для любых функция, результатом применения является изменение знака в момент времени t=0.
9.Два способа представления вещественного сигнала на комплексной плоскости. Понятие положительной и отрицательной частоты.
В электротехнике кроме временной модели представления гармонического сигнала принята модель, описывающая колебание с помощью вращающегося комплексного вектора. Область изменения такого вектора называется комплексной плоскостью.
Вещественный сигнал можно представить 2 способами:
1.Аналитический
сигнал:
,где
или
При положительной частоте точка движется против часовой стрелки, и уравнение имеет знак +, при отрицательной частоте точка движется по часовой стрелке и уравнение имеет знак -.
А
налитический
сигнал имеет односторонний спектр.
2. Формула Эйлера:
Тогда cos можно представить:,
г
де
П
ервый
член уравнения – это окружность, второй
член – окружность вращающаяся в
противоположную сторону.
Вещественный сигнал всегда имеет симметричный двусторонний спектр, а комплексный всегда несимметричный. Либо
, либо
Понятие отрицательной и положительной частоты может быть показано на примере вращающегося в ту или другую сторону вектора. Частота со знаком отражает как скорость, так и направление вращения. Скорость выражена в оборотах (циклах) в секунду (герцах) или рад/с (где 1 оборот соответствует 2π радианам).
Для заданного во времени сигнала такой вектор представляет его на комплексной плоскости. Зависимость значения сигнала от времени есть лишь зависимость проекции вектора на действительную ось от времени. Поэтому понятие отрицательной частоты не может быть представлено в виде некомплексных сигналов во временной области и распространяется только на частотную.