4. Вещественный и комплексный сигналы. Энергетические характеристики сигналов. Свойство ортогональности сигналов. Интервал ортогональности.

Сигнал – функция времени. Любой сигнал можно представить в вещественном и комплексном виде.

Вещественный сигнал:

, где - фаза (мгновенная). - несущая частота (та частота, на которой передается сигнал. Не несет информации). A(t) – огибающая вещественного сигнала.

Если A(t) и = const, то сигнал информации не несет.

Комплексный сигнал:

Выделяют два типа комплексных сигналов: аналитический сигнал и комплексная огибающая.

А налитический сигнал образуется из исходного вещественного сигнала путем добавления к нему мнимой части , которая получается преобразованием Гильберта:

П ри этом в мнимой части происходит сдвиг фаз всех спектральных составляющих сигнала на –90 градусов, то есть в сторону запаздывания. Аналитический сигнал можно представить через огибающую A(t) и полную фазу Ф(t) вещественного сигнала

, где

.

Таким образом, через аналитический сигнал можно найти текущие значения огибающей A(t) и полной фазы Ф(t) вещественного сигнала в любой момент времени, что часто используется на практике для извлечения из сигнала информации.

Энергетические характеристики сигналов: Вещественный сигнал

1 .Мгновенная мощность сигнала – мощность сигнала в какой-то точке.

Н е обладает свойством аддитивности:

2 .Взаимная мощность 2 сигналов:

3. Энергия сигнала на интервале времени [t₁,t₂] – площадь под кривой.

4.Средняя мощность – энергия за интервал времени T.

Энергия и средняя мощность 2 и более сигналов - аддитивны, но только в том случае, если сами сигналы – ортогональны.

Если - взаимная энергия сигналов, то энергия аддитивна. Если 1/T* - то средняя мощность аддитивна.

И нтервал ортогональности тесно связан с областью определения сигналов, те сигналы могут быть ортогональны на одном участке и нет на другом.

Комплексный сигнал:

1.Мгновенная мощность сигнала

В озведение в квадрат-> умножение комплексного сигнала на его компл- сопряженный.

2.Энергия сигнала на интервале [t₁,t₂] -

3.Средняя мощность -

, при  , [a,b] – интервал ортогональности.

5.Разложение сигнала конечной длительности в обобщенный ряд Фурье. Спектр сигнала. Ошибка аппроксимации конечным рядом. Равенство Парсеваля.

Разложение по ортонормированной системе базисных функций называется обобщенным рядом Фурье, а набор коэффициентов часто называют спектром функции в соответствующем базисе.

_{S(t) хотим представить в простом виде S1(t)}

-аппроксимация (мощность сигнала ошибки должна быть минимальна) на интервале [t₁,t₂].

,Тогда сигнал ошибки аппроксимации равен:

- средняя мощность сигнала ошибки.

Д ля того, чтобы найти такое значение С₁ при котором мощность сигнала ошибки минимальна найдем производную по С₁ и прировняем ее к 0.

Результат:

;

- обобщенный ряд Фурье, где

В качестве функции S_k можно брать функции обладающие свойством ортогональности, т.е. их взаимная энергия на этом интервале времени д.б. =0.

С овокупность коэффициентов Фурье {Ck} и носит название спектра сигнала s(t). Графическое представление коэффициентов {Ck} в виде вертикальных отрезков (рис) дает наглядное представление о спектре сигнала.

Произведение CkSk(t) определяется как спектральная составляющая сигнала. Тем самым обобщенный ряд Фурье представляет сигнал s(t) в виде бесконечной суммы спектральных составляющих.

Н еравенство Бесселя: мощность приближенной копии сигнала, полученной в результате аппроксимации ряда Фурье всегда < или = мощности исходного сигнала.

Равенство Парсеваля: Вся мощность сигнала распределена между его спектральными составляющими.

Выводы:

1.Обобщенный р. Фурье представляет произвольный сигнал в виде конечной или бесконечной суммы спектральных составляющих в ортогональном базисе.

2.На основе ряда Фурье возможен как анализ так и синтез сигналов

3.Совокупность S_K – спектр сигнала в данном базисе.

4 .Существует однозначное соответствие между сигналом и его спектром.

5.Т.к S(t) ограничен по мощности, то предел

6.Для получения более точного представления сигнала необходимо увеличить n (количество взятых членов ряда).

П ример: найти разложение в ряд Фурье прямоугольного сигнала. Ортогональный базис -