30..Представление помехи в виде случайного процесса. Стационарные и эргодические процессы. Одно-, двух-, и многомерные плотности вероятности и их числовые характеристики.

СП – функция, зависимая от времени. Значение функции в любой момент времени предугадать невозможно.

Значения, принимаемые функцией в любой момент времени являются случайными величинами. Выделяют 2 основных класса сигналов: шумы и сигналы, несущие информацию.

До приема случайный процесс следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность функций времени X(t), подчиняющихся некоторой общей для них статической закономерности. Одна из этих функция, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса.

Помехи бывают аддитивные и мультипликативные. Примем что аддитивная помеха – белый шум.

Случайные процессы можно разделить на одномерные, двумерные и многомерные.

1.Одномерный случайный процесс.

Функция распределения вероятности F(x,t₁) равна вероятности того, что в момент времени t₁ значение случайного процесса не превосходит x:

Плотность распределения вероятности p(x,t₁) представляет собой производную от функции распределения.

Произведение p(x,t₁)dx представляет собой вероятность попадания значения случайного процесса X(t₁) в бесконечно малый интервал dx в окрестности х. Отсюда следует что p(x,t₁) 0.

Для упрощения описания СП вместо функций распределения и плотности распределения вероятности часто используют числовые характеристики – моменты (центральные моменты порядка n)

– начальный момент.

- центральный момент

Начальный момент 1-го порядка – математическое ожидание СВ.

Центральный момент 2-го порядка – дисперсия СВ.

2.Двумерный случайный процесс.

Функция плотности вероятности представляет собой вероятность того, что реализация случайного процесса X(t) в момент времени t₁ попадет в бесконечно малый интервал шириной dx₁ в окрестности Х_1, а момент времени t₂ – малый интервал шириной dx₂ в окрестности Х₂.

Переход от 2х мерной плотности вероятности к 1 мерной:

Правило нормировки:

Многомерная плотность распределения: P_n(x1,x2,…xn)

Чем больше порядок n, тем лучше описан СП.

Характеристики многомерной плотности распределения:

смешанный момент второго порядка. мат ожидание от произведения двух центрированных СВ

Если X₁ и X₂ принадлежит одномерному случайному процессу, то в различные моменты времени, то – автокорреляционный момент.

Нормированный корреляционный момент:

Стационарный СП: если любая n-мерная функция распределения его значений не меняется при переносе начального отсчёта времени

Стационарные случайные процессы - случайные процессы, статистические характеристики которых оди­наковы во всех временных сечениях.

Случайный процесс строго стационарен (в узком смысле), если егo многомерная плотность вероятности р(х₁, х₂,.., х_n, t₁, t_2…. t_n) произвольной размерности n не изменяется при одновременном сдвигe всех временных сечений t₁, t_2…. t_n вдоль оси времени на одинаковую величину τ

СП является эргодическим, если по одной единственной реализации СП можно судить о его статистических свойствах. Если процесс является стационарным и эргодическим, то его изучение существенно упрощается. . Стационарный случайный процесс называ­ется эргодическим, если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению по времени одной, теоретически бесконечно длинной, реализации.

31. Спектральные и корреляционные характеристики случайных процессов и связь между ними. Спектральная плотность мощности. Формула Винера-Хинчина. Энергетическая ширина спектра и интервал корреляции. Белый шум и его характеристики.

Спектральные и корреляционные характеристики случайных процессов и связь между ними. Непосредственно к случайному процессу преобразование Фурье применять нельзя, т.к. интегралы - расходящиеся. Можно получить распределение мощностей квадратов амплитуды.

СПМ - спектральная плотность мощности – распределение средней мощности случайных процессов по частоте.

- энергетический спектр.

- автокорреляционная функция. Под интегралом взаимная энергия случайного процесса

АКФ СП вычисляется как усредненное по времени произведение взаимно сдвинутых значений этого процесса, как функция от величины этого сдвига. Если 2 точки случайного процесса близки, но независимы, то спектр широкий. Если в далеко, но независимы, то узкий.

Формула Винера-Хинчина.

Переход от угловых частот к натуральным (Герцам):

Спектральная плотность мощности (СПМ)- описывает энергетическую ширину спектра. Мерой ширины спектра и длительности автокорреляционной функции является энергетическая ширина спектра и - интервал корреляции.

G_p(w)

-

- интервал корреляции

Чем шире энергетический спектр, тем уже интервал корреляции

СПМ сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры плотности мощности.

Белый шум – идеализация физического случайного процесса, мгновенное значение которого в близкие моменты времени t не связаны между собой.

Считается, что S=N₀/2 – двухсторонняя спектральная плотность белого шума

N₀/2 из за двусторонней спектральной плотности мощности БШ

Дисперсия белого шума равна бесконечности.

Поскольку в реальных устройствах полоса спектров и полоса пропускания цепей ограничена => в качестве реальной замены белого шума является «розовый» шум, у которого на определенной полосе отсутствует (N₀/2), а за пределами не важно.