2.Композиционные рцкп, их построение и анализ.

В некоторых случаях ортогональное планирование второго порядка не отвечает потребностям практики – при описании поверхности отклика, особенно в окрестностях точки оптимума, более значимой является оценка дисперсии уравнения в целом, чем оценка дисперсии отдельных коэффициентов полинома. В этом случае обычно стремятся к равномерности распределения информации в уравнении функции отклика по всем направлениям. Такому положению отвечают ротатабельные планы,где акцент делается не на точность оценивания коэффициентов модели,а на точность прогноза показателей У.

Рототабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). У рототабельного плана первого порядка точки плана располагаются на одной окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом R

где V=1,…, N - номер точки плана, i =1,…, n – номер фактора.

В таком случае точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая.

Рототабельный план может быть симметричным, когда точки плана располагаются симметрично друг друга.

У рототабельных планов второго порядка точки плана располагаются на двух концентрических гиперсферах с радиусами R1 и R2 . В таких планах

,для V =1,…, N0 и

,для W=1,…, n0,

где V и W – текущие номера точек плана в двух подмножествах опытов N0 и n0 из их общего количества N, относящихся к двум разным концентрическим сферам.

Рототабельный план может быть ортогональным, если выполняется условие

,

где , , , - номера столбцов плана.

Построение

Один из подходов к построению таких планов состоит в следующем [2].

Путем специального подбора звездного плеча γ ЦКП Бокса можно сделать ротатабельным, иначе говоря, ЦКП Бокса можно сделать или ортогональным или ротатабельным.

 Точки ротатабельного ЦКП Бокса второго порядка располагают на концентрических гиперсферах, количество которых не менее двух. Первая гиперсфера может быть вырожденной, т. е. представлять собой центральную точку плана, ее радиус р₁ = 0. Именно такая сфера часто используется на практике.

Вторая гиперсфера соответствует вписанному в нее кубу, выбранному в качестве ядра плана. Для ядра х_i =  1, следовательно, радиус этой гиперсферы

р₂ = (х₁² + х₂² + … + х_k²)^1/2 = (k)^1/2.

Ядро представляет собой ПФЭ вида 2^k или ДФЭ вида 2^k – p , причем должно соблюдаться условие (k – p)/4 > 3/4. Следовательно, с учетом ограничений на ЦКП Бокса, если k ≥5, то в качестве ядра можно использовать полуреплику, если k ≥ 8, ядром может служить четверть реплика.

Третья гиперсфера имеет радиус r₃ = 2 ^{k / 4} для ядра в виде ПФЭ и радиус r₃=2^(k-p)/4 для ядра в виде ДФЭ.

Таким образом, каждый фактор в ротатабельном ЦКП Бокса варьируется на пяти уровнях. В некоторых случаях радиусы второй и третьей гиперсферы совпадают:

n = 2:

р₂ = 2 ^1/2, р₃ = 2 ^2/4 = 2^1/2;

n = 8 и p = 2:

р₂ = 8 ^1/2 = 2 ^3/2, р₃ = 2 ^{(8 – 2)/4} = 2^3/2.

Анализ РЦКП и вычисление коэффициентов модели более сложное чем в случае ОЦКП. Коэффициенты модели коррелируются друг с другом и это усложняет проверку их значимости и проверку адекватности модели

Билет 3