2. Возможности методов планирования эксперимента в современных задачах управления качеством.

Основными причинами недостатков на производстве являются плохая работа и недостаток знаний.

Статистические методы являются мощным средством получения новых точных знаний об исследуемых объектах с целью обеспечения их качества. Роль стат. методов особо подчеркнута в международных стандартах по качеству серии ИСО, в частности, в них отмечено, что использование статических методов в организации является необходимым индикатором существующих в ней систем менеджмента качества.

Перечень задач менеджмента качества решаемых с использованием статических методов достаточно широк. В том числе:

1. Задача свертки информации – представление ее в компактной стандартной форме , удобной для анализа, публикации, сравнение с результатами, полученными другими исследователями на аналогичных производственных объектах.

2. Проведение сравнительного анализа объектов управления по их статистическим характеристикам интересующих показателей с привлечением соответствующих критериев.

3. Выявление статистических связей между интересующими признаками (между показателем качества и обусловливающими его функциями) и построение соответствующих моделей, многофакторных объектов управления в задачах их управления и оптимизации.

4. Анализ структуры многомерных данных и многокритериальная оценка качества по комплексу индивидуальных показателей. Для выявления технологии исследуемых объектов.

К числу наиболее востребованных в практике управления качеством относится так называемые 7 простейших методов обеспечения качества, полученных широкое распространение в Японии. По данным японских специалистов применение этих методов позволяет решать порядка 95% всех проблем, возникающих на производстве, предотвратить их появление и избежать потерь, связанных с устранением таких проблем.

Для лучшего понимания роли статистических методов контроля и управления качеством полезно просветить историю их развития параллельно с развитием общего менеджмента.

Билет 17

1.Сравнение метода крутого восхождения (кв) и симплексного метода оптимизации (смо)

Главное отличие СМО от метода КВ в том, что в КВ оптимизация включает 2 этапа:

1. Пробные шаги – постановка опытов по плану 2^k и построение модели зависимости показателя у от варьируемых факторов х

2. Рабочие шаги в направлении крутого восхождения в точках (опытах), рассчитанных на основе различных моделей

В СМО пробные и рабочие шаги совместны. Здесь экспериментатору приходится реже ставить опыты и осуществлять движение к оптимуму после каждого нового опыта, а не после серии опытов (опытов плана 2^k и собственно опытов по КВ).

Основные недостатки СМО:

1. Все факторы должны быть количественные

2. Метод дает ограниченную информацию об исследуемой зависимости у(х) – по точкам симплексного плана можно построить только линейную модель, включающую только эффекты варьируемых факторов и не включающую эффекты их взаимного влияния

3. Эффективность метода падает с увеличением ошибки эксперимента( ошибки воспроизводимости выходного показателя)

4. СМО следует использовать в тех случаях, когда результаты опытов могут быть получены в относительно короткое время после установления того или иного режима по факторам х. когда эксперимент по своей природе является длительным, лучше использовать планы 2^k и метод КВ, требующие постановки хотя и большего числа опытов, но позволяющие получить полное представление о влиянии факторов в исхолдной области режимов и направлении движения к оптимуму.

После достижения области оптимума методом КВ или СМО для ее изучения необходимы более сложные планы эксперимента для получения более полных моделей, включающих нелинейные эффекты в этой области.

ЕСЛИ НАДО ТО ПОДРОБНО ПРО ОБА МЕТОДА!

Рассмотрим метод крутого восхождения с применением факторного эксперимента. Определение оптимальных условий протекания экономических, химических, физических и металлургических процессов, или задача определения оптимального состава компонентов системы, всегда решалась чисто интуитивно. При попытке дать строго обоснованные*методы решения этой задачи приходится сталкиваться с большими трудностями. Чтобы найти оптимум, нужно дать описание поверхности отклика в широком интервале варьирования независимых переменных. Адекватное описание таких больших участков поверхности требует очень большого числа опытов.

Для решения этой задачи используется последовательный, пошаговый метод изучения поверхности отклика. Исследователь вначале ставит серию опытов для описания небольшого участка поверхности отклика полиномом 1-го порядка. Далее он двигается по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Такой процесс продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в окрестность экстремума. Если требуется более точно определить положение оптимума, то ставится большая серия опытов, и поверхность отклика описывается полиномом 2-го, а иногда даже 3-го порядка. При таком подходе к задаче достигается весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая преимущественно интересует исследователя.

Градиент функции отклика может быть задан выражением

факторного пространства.

Движение в направлении градиента - это движение по кратчайшему, наиболее крутому пути; отсюда название крутое восхождение (если отыскивается максимум функции) или наискорейший спуск (минимум функции).

Здесь следует отметить несколько разновидностей движения по поверхности отклика. Если бывает затруднительно определить градиент, используют метод Гаусса-Зейделя. По этому методу производится поочередное изменение каждого параметра в направлении оптимума с помощью пробных шагов. Это относительно длинный путь к оптимуму. Сам метод градиента тоже имеет несколько разновидностей. Градиент может вычисляться на основе выполнения одного пробного шага по каждой переменной (для Двух переменных будет использоваться одна центральная точка и две пробных).

Более точно градиент может быть вычислен, если известно линейное приближение поверхности отклика, полученное по числу точек, превышающему число переменных. Боксом и Унисоном предложено определять градиент по линейному приближению поверхности отклика на основе дробного факторного эксперимента. Если градиент рассчитывается заново после каждого шага решения, то это метод градиента. Если же в направлении градиента выполняется несколько шагов до тех пор, пока не перестанем приближаться к оптимуму, то это метод крутого восхождения или наискорейшего спуска.

Рассмотрим метод крутого восхождения при определении градиента по линейному приближению поверхности отклика, полученному на основе факторного эксперимента. На рис. 7.6 нанесены кривые равного уровня поверхности отклика для двух независимых переменных. Если построить нормали к кривым равного уровня, то получим направления градиента. Движение из точки О в направлении ОР - это наиболее крутой путь подъема по поверхности отклика. В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока не перейдет точку Q. В окрестности точки Q надо будет поставить новую серию опытов и заново найти направление градиента (QM).

Если поверхность отклика локально может быть описана линейным уравнением, то частные производные, очевидно, будут равны коэффициентам уравнения регрессии

на единицу варьирования.

Симплексный метод оптимизации.

Симплексом называется правильный многогранник, имею­щий п+1 вершину, где п—число факторов, влияющих на про­цесс. Так, например, если факторов два, то симплексом явля­ется правильный треугольник.

 

Рис.. Оптимизация по симплексному методу

Сущность симплексного метода оптимизации иллюстрирует рис. 6.

Начальная серия опытов соответствует вершинам исход­ного симплекса (точки 1, 2 и 3). Условия этих первых опытов берутся из области значений факторов, соответствующих наи­более благоприятным из известных режимов оптимизируемого процесса.Сравнивая между собой результаты опытов в точках 1, 2 и 3, находят среди них самый «плохой», с точки зрения выбран­ного критерия оптимальности. Пусть, например, самым «не­удачным» оказался опыт в точке 1. Этот опыт исключают из рассмотрения, а вместо него в состав симплекса вводят опыт в точке 4,которая симметрична точке 1 относительно проти­воположной стороны треугольника, соединяющей точки 2 и 3.

Далее сравнивают между собой результаты опытов в вер­шинах нового симплекса, отбрасывают самый «неудачный» из них и переносят соответствующую вершину симплекса в точ­ку 5.Затем рассмотренная процедура повторяется в течение всего процесса оптимизации.

Если экстремум критерия оптимальности достигнут, то дальнейшее движение симплекса прекращается. Это значит, что новый шаг возвращает исследователя в предыдущую точ­ку факторного пространства.

Следует иметь в виду, что симплексный метод, так же как и другие методы оптимизации, является локальным методом поиска экстремума. Если существует несколько экстремумов критерия оптимальности, то этот метод позволяет найти тот из них, который расположен ближе к точкам исходного симплек­са. Поэтому, если есть подозрение о существовании несколь­ких экстремумов критерия оптимальности, нужно осуществить их поиск, каждый раз начиная оптимизацию из новой области факторного пространства. Затем следует сравнить между со­бой найденные оптимальные условия и из всех вариантов вы­брать наилучший.

При оптимизации необходимо принимать во внимание ог­раничения, наложенные на влияющие факторы и функции от­клика.

Важно отметить, что при пользовании симплексным мето­дом не обязательно дублировать опыты. Дело в том, что ошиб­ка в отдельном опыте может только несколько замедлить оп­тимизацию. Если же последующие опыты выполняются безуп­речно, то движение к оптимуму продолжается.

Матрица опытов исходного симплекса в кодированных пе­ременных приведена в табл.11.

Величины, входящие в эту таблицу, рассчитываются по сле­дующим формулам:

                                     (*)

 

Здесь i—номер фактора в матрице планирования. Символом 0 обозначены координаты центра плана, т. е. основной уровень.

Таблица 11

Матрица исходного симплекса

 

Номер опыта	X1	X2	. . .	Xn-1	Xn	Функция отклика
1	K1	K2	…	Kn-1	Kn	Y1
2	-R1	K2	. . .	Kn-1	Kn	Y2
3	о	-R2	. . .	Kn-1	Kn	Y3
…	…	…	…	…	…	…
п-\	0	0	…	Kn-1	Kn	Yn-1
п	0	0	…	-Rn-1	Kn	Yn
п+1	0	0	…	0	-Rn	Yn+1

 

Опыты, представленные в табл. 11, соответствуют верши­нам симплекса, сторона которого равна единице, а центр сов­падает с началом координат (в кодированных переменных).

Результаты расчетов, выполненных на основании табл. 11 и формул (*) .приведены в табл. 12.

Таблица 12 Условия начальной серии опытов

 

Номер опыта	X1	X2	X3	X4
1	0,5	0,289	0,204	0,158
2	—0,5	0,289	0,204	0,158
3	0	-0,578	0,204	0,158
4	0	0	-0,612	0,158
5	0	0	0	—0,632

 

Аналогично можно рассчитать условия исходной серии опытов для большего количества факторов.

Очевидно, наибольшее количество опытов приходится ста­вить в начале эксперимента. Затем на каждом шаге оптимиза­ции выполняется только один опыт.

Приступая к оптимизации, необходимо с помощью табл. 11 или 12 рассчитать матрицу исходной серии опытов в физиче­ских переменных, пользуясь формулой

В дальнейшем все операции производятся только с физиче­скими¹. переменными.

.Условия каждого нового опыта рассчитываются по фор­муле:

 

   (**)

где п—число факторов в матрице планирования;

j — номер опыта;

i—номер фактора;

—значение i-го фактора в самом «неудачном» опыте предыдущего симплекса.

Следует отметить, что на любом шаге оптимизации, осу­ществляемой симплексным методом, можно включить в про­грамму исследований новый фактор, который до тех пор не принимался во внимание, но оставался на постоянном уровне.

 

 

При этом значения всех ранее рассматриваемых факторов рас­считываются по формуле:

 

где 1= 1, 2,..., п, то есть являются средними арифметическими значениями соответствующих координат предыдущего симп­лекса.

Значение вновь вводимого фактора определяется по фор­муле:

.где x_0(n+1)—основной уровень этого фактора;

Δx_n+1—выбранный шаг варьирования для данного фак­тора;

R_n+1, k_n+1—величины, рассчитываемые по формулам (*).

Отметим, что добавление нового фактора в состав полного «факторного эксперимента сопровождается увеличением коли­чества опытов вдвое. В этом смысле симплексный метод имеет очевидное преимущество.

В практику научных исследований симплексный метод был введен Химсвортом в 1962 г.

 Пример 3.2. Пусть требуется с помощью симплексного ме­тода оптимизировать выход целевого продукта у (%), кото­рый получается при взаимодействии двух реагентов с кон­центрациями x₁ и x₂ ( )   при температуре x₃ (°С).

Выберем основные уровни и шаги варьирования факторов и сведем их в табл. 13.

Таблица 13

Значения уровней факторов и шагов варьирования

Фактор	Основной уровень	Шаг варьи­рования
x2 ( )	1,0	0,1
x2 ( )	1,5	0,2
x3 (°С).	60,0	5,0

 

Пользуясь формулой (3.5) и табл. 12, рассчитаем условия проведения первых четырех опытов и полученные результаты сведем в табл. 14. Так, например, для третьего опыта

x₃₁=1+0,1*0==1;  x₃₂== 1,50 +0,2 (—0,578) ==1,38; x₃₃=60+5*0,204==61.

Таблица 14 Оптимизация симплексным методом

 

Номер опыта	x1	x2	x3	Функция отклика
1	1,05	1,56	61	72,3
2	0,95	1,56	61	70,1
3	1,00	1,38	61	65,4
4	1,00	1.50	57	68,2
5	1,00	1,70	58	73,9
6	1,00	1,72	63	76,5

 

Сравнивая между собой результаты первых четырех опы­тов, видим, что самый низкий выход целевого продукта полу­чился в третьем опыте. Этот опыт следует исключить из даль­нейшего рассмотрения.

Заменим его опытом 5, условия проведения которого рас­считаем по формуле (**):

 

В новом симплексе, образованном опытами 1, 2, 4 и 5, са­мым «неудачным» является опыт 4. Его заменим опытом 6, ус­ловия которого найдем, пользуясь той же формулой (**).

Далее процедура оптимизации может быть продолжена аналогично.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как включить в програм­му исследований еще один фактор, например скорость враще­ния мешалки. Пусть до этих пор она была постоянной и рав­ной 500 об/мин. Теперь будем считать эту величину фактором x₄ и примем для нее шаг варьирования Δx₄==100 об/мин.

Предыдущий симплекс для трех факторов (см. табл. 14) состоит из опытов 1, 2, 5 и 6. Чтобы из него получить новый симплекс для четырех факторов, введем опыт 7 (табл. 15).

 

Таблица 15 Добавление нового фактора в программу оптимизации

 

Номер опыта	x1	x2	x3	x4	Функция отклика
1	1,05	1,56	61	500	72,3
2	0,95	1,56	61	500	70,1
5	1,00	1,70	58	500	73,9
6	1,00	1,72	63	500	76,5
7	1,00	1,64	61	580	78,1

 

Условия проведения 7-го опыта найдем по формулам     (3.7) и (3.8):

Далее оптимизацию можно продолжить с учетом всех четы­рех факторов, пользуясь рассмотренной выше процедурой.