1.Методы отсеивающего эксперимента, их назначение.

Эти планы используются на стадии предварительных исследований для выделения существенных эффектов факторов. В этом классе различают следующие планы*.

Насыщенные планы Плакетта и Бермана, представляющие собой двухуровневые планы, образованные методом циклических сдвигов. Число опытов в планах равно числу исследуемых эффектов.

Сверхнасыщенные планы случайного баланса в зависимости от числа уровней варьирования могут быть двух- и многоуровне­выми. По методу построения эти планы могут быть образованы слу­чайным образом (например, из строк факторного эксперимента типа 2^к с помощью таблиц случайных чисел). Систематически ото­бранные планы обеспечивают минимальные корреляции между столб­цами плана (планы Бут и Кокса и др. ). При случайном балансе результаты эксперимента представляются в виде модели

Планы последовательного отсеивания. При последовательном отсеивании, используемом в отличие от двух вышеописанных типов планов, для задач большой размерности (число факторов до 100 и выше) все факторы на основе априорной информации делятся на группы, каждая из которых рассматривается далее как отдельный комплексный фактор. Эти группы — комплексные факторы, которые содержат только незначимые переменные, исключаются из рассмотрения после первого цикла опытов (первой проверки). Оставшиеся факторы вновь делятся на группы для проверки, и цикл опытов повторяется. Такая процедура проводится до выявле­ния всех значимых эффектов. В процессе отсеивания комбинирование и разделение переменных по группам проводится с помощью комбинаторных планов типа BIB-PBIB-схем, латинских квадратов и др.

После каждого цикла опытов получается новая информация позволяющая выбрать оптимальные планы для реализации очередного

ц икла. В простейшем случае при последовательном отсеивании используется линейная модель аддитивного типа

2.Модели многоуровневых планов с количественными переменными.

В практических задачах исследуемые факторы могут быть и количественными и качественными с большим числом уровней для описания интересующей зависимости для широкой области зависимости.

Для построения моделей таких планов с количественными факторами удобно использовать представление интересующей зависимости не виде обычного полинома ax+bx²+cx³+…., а в виде разложения по ортогональным полиномам Чебышева. Такой подход позволяет разработать простую методику анализа, аналогичную анализу планов 2^к.

Рассмотрим пример построения в начале однофакторной модели, показателя у от многоуровневого фактора

Гораздо удобнее строить искомую зависимость в виде разложения по полиномам Чебышева обладающие свойством ортогональности. Эти полиномы табулированы.

Полиномы Чебышева табулированы для равноотстоящих значений уровней факторов

Для перехода от полинома Чебышева к обычному полиному используют выражения этих полиномов имеющихся в таблицах.

Билет 12

1.Последовательная стратегия экспериментирования при исследовании многофакторных объектов и ее этапы.

Мощным средством повышения эффективности исследований является использование современной методологии планирования многофакторного эксперимента. Применение этой методологии позволяет в значительной степени формализовать процесс любого экспериментального исследования, сократить число оптов и время их поведения, получить наиболее полную информацию из эксперимента в виде математических моделей, отражающих количественное влияние одновременно многих факторов и их взаимное влияние на интересующие показатели качества и эффективности. Такие модели пригодны для направленной оптимизации исследуемых объектов их контроля и управления.

Задача статического исследования многофакторного объекта сводится к количественной зависимости выходных параметров у от входных факторов х, выделения наиболее существенных факторов или подбор режимов обеспечивающих оптимум показателей у. Если теоретическая модель зависимости у от х известна, то это соответствует модели серого ящика, структура модели которого известна и задача эксперимента состоит в оценки параметров такой модели с максимальной точностью и минимум опытов.

Искомая зависимость является статической.

y=f(x1;x2…..x_k)+ε

Она не известна, ее разлагают в многомерный ряд Тейлора в окрестности исходного начального режима, в виде многомерного полимера многочлена.

F{y}=b₀+∑b_ixi+∑b_jxj+∑b_ijxi²+…

ε- характеризует ошибку воспроизводимости результатов у в каждом опыте, т.е. разброс значений у при постоянных значениях факторов х за счет действия дестабилизирующих факторов w.

1. Обычно предполагают, что ε подчиняется нормальному закону распределения с нулевым средним и дисперсией σ.

2. Ошибки ε не кореллируют.

3. Ошибки однородны

4. Величина ошибок не зависит от значения показателя у.

При таких предпосылках для оценки коэффициентов моделей применяют метод наименьших квадратов, т.е. искомые коэффициенты «в» находят таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений реально наблюдаемого значения у от прогнозируемого у^ должна быть минимальной.

∑(y_u-y^{^}(x_iu…x_ku)²+1=min

1) Этот метод МНК применяют по той причине, что он позволяет получить формулы для вычисления коэффициентов модели в явном виде через значение показателя у в каждом опыте и значений обуславливающих его факторов х в этих опытах. Благодаря выполнению указанных предпосылок проводятся объективный анализ значимости каждого коэффициента, чтобы выбросить незначимые коэффициент модели и провести проверку работоспособности (адекватности) модели.

2) Опыт проводятся согласно многофакторному плану задающему условия опытов (значения факторов) и их порядок . При этом от опыта к опыту одновременно меняются много факторов. При этом оценивается взаимное влияние факторов х на выходной показатель у, т.е. получаем новую информацию, которую нельзя получить при однофакторном эксперименте.

3) В процессе экспериментирования большинство действий исследователей формализовано. Опыты ставят небольшими последовательными сериями, анализ результатов которых позволяет принимать обоснованное решение, что делать дальше. В результате вырабатывается оптимальная последовательная стратегия экспериментирования, позволяющая наметить последовательность отдельных этапов, оценить отдельное число опытов и разумно оценить имеющиеся ресурсы.

4) результаты опытов представляют в виде математической модели – количественной зависимости выходного показателя у от исследуемого фактора х.

Модель позволяет оценить влияние каждого фактора и их взаимного влияния и осуществить направленный поиск оптимальных режимов.

5)Получаемые модели обладают оптимальными статическими свойствами (обеспечивающими наивысшую точность оценки коэффициентов модели, а так же наивысшую точность прогноза значимости показателя у)

Сама форма представления результатов и их анализом, занимает 1,5-2 страницы, очень удобна для хранения, публикации, сравнения с результатами других исследований по аналогичной проблеме. Такая компактная форма хранения информации объемом двух страниц вместо обычного отчета занимающего 200-300 страниц само по себе весьма эффективна, поскольку по данным науковедов объем новой информации по результатам исследований производимых человечеством ежегодно удваивается.

2.Планы ПФЭ 2^к, их назначение, построение и анализ.

При постановке многофакторных экспериментов условия опытов и их результаты представляют в стандартной компактной форме в виде таблицы, которую разберем на примере плана к=3

Кодирование факторов – переход к их безразмерным значениям, значительно упрощает запись условий эксперимента, а также последующий статистический анализ по построению модели и проверке ее адекватности.

Далее записывается условия опытов.

N=2^k=2³=8 – число опытов.

В полученной матрице задающей условия опытов в их кодированных переменных первый фактор меняет знаки (уровни) с максимальной частотой при переходе от опыта к опыту.

Столбец второго фактора меняет уровни с частотой в 2 ража реже.

Столбец третьего фактора в 2 раза реже предыдущего фактора.

Для компактности изложения в такой таблице единички опускают и оставляют только знаки. Кроме того условия каждого опыта можно записать в более компактной кодированной форме.

Опыт, в котором все факторы находятся на нижнем уровне, обозначается _(1).

Опыт, в котором соответствующий фактор или комбинация факторов находятся на верхнем уровне, обозначается символом этого фактора или комбинацией факторов.

Полученная матрица плана эксперимента обладает тремя оптимальными свойствами.

4. ∑х_iu=0 – сумма элементов по каждому столбцу плана равна 0 (условия симметрии плана)

5. ∑х_iu²=N=8 – сумма квадратов элементов равна числу опытов (N).

6. ∑х_iu х_ju =0 – для любой пары столбцов плана выполняются условия ортогональности, т.е. сумма парных произведений элементов любых двух столбцов равна 0.

Результат такого эксперимента описывается следующей многофакторной моделью:

y^=b₀+ b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃+ b₁₂x₁x₂+ b₁₃x₁x₃+ b₂₃x₂x₃+ b₁₂₃x₁x₂x₃

Коэффициенты с одним индексом в такой модели характеризуют силу влияния каждого из факторов, коэффициенты с двумя индексами характеризуют совместное влияние на выходной показатель у факторов парами. Коэффициент с тремя индексами характеризует совместное влияние на у трех факторов одновременно.

Благодаря указанным оптимальным свойствам по методу наименьших квадратов.

∑ (y_u-y_u^{^})²=∑[ y_u-( b₀+ b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃+ b₁₂x₁x₂+ b₁₃x₁x₃+ b₂₃x₂x₃+ b₁₂₃x₁x₂x₃)²]

Коэффициенты указанной модели оцениваются МНК по простой одинаковой формуле с максимальной точностью (минимальной дисперсией)

b_j= ; b₀=∑y_u/N;

b_ij= ; b_jiz= – коэффициенты взаимного влияния

S²{b}=S²y/N – ошибка вычисления коэффициентов модели.

В данном примере S² – ошибка , считается по результатам повторных экспериментов n₀=4

S_y²=∑ (y_i0+y₀^-)²/( n₀-1)=2 – ошибка воспроизводимости выходного показателя у.

y₀^-=∑y_in/n₀=72

f₀=n₀-1=3

b=t_α(f)S{b}=1,54 – доверительный интервал

[b] b – значимо

S{b}=S²y/N=1/4;

SS_ад=∑ (y_u-y_u^{^})² ;

S_ад²= SS_ад/f_ад;

f_ад=N-L;

F=S²_ад/S²_y F_α(f_ад;f_y) – модель адекватна

Планы 2^к используют при решении двух различных типов задач, возникающих на практике.

Планы ПФЭ (полного перебора вариантов) применяют при исследовании многофакторных систем, где интерес представляет оценка не только влияния самих факторов но и их взаимного влияния на выходной показатель у (парные, тройные взаимные влияния факторов).

При этом получают новую информацию об исследуемой системе – информацию об указанных взаимных влияниях, которые в принципе не возможно получить традиционным однофакторным экспериментов, когда каждый фактор варьируют по одному при фиксированных значениях других факторов.

Билет 13