2. Планы многофакторного анализа

Планы многофакторного анализа (ПМА) используются для оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействий многих факторов, варьируемых на одинаковом (симметричные планы) или неодинаковом (несимметричные планы) числе уровней. Общее уравнение математической модели, представляющей результаты эксперимента по таким планам, имеет вид

В классе ПМА различаются следующие планы.

Симметричные двухуровневые планы типа 2к, в которых каждый фактор варьируется на двух уровнях. Эти планы наиболее освоены и распространены. Полные планы, когда реализуется весь набор из 2к комбинаций уровней факторов, позволяют оце-

нить все эффекты модели, включая взаимодействия. Если часть эффектов (обычно это взаимодействия высших порядков) в модели отсутствует, то используют дробные факторные планы или так называемые дробные реплики, представляющие определенную часть полного эксперимента типа 2 в степени к. Реплика называется регулярной, если она представляет с часть от 2 в степени к эксперимента, где к целое число. Такая реплика содержит 2 в степени к-р опытов и обозначается

соответствующим образом. Если реализуется часть 2к эксперимента, не кратная степени двойки, т. е. не равная , то такая реплика называется нерегулярной.

Многоуровневые симметричные планы, в которых факторы варьируются на 3, 4, . . . , м уровнях и обозначаются соответственно как планы. Эти планы также могут быть полными и дробными.

Многоуровневые несимметричные планы, в которых факторы

б) совмещением факторных планов типа 2к с латинскими квадратами, прямоугольниками, кубами (особенностью этих планов является требование равенства числа опытов эксперимента степени двойки, т. е. N = 2к); в) комбинированными методами на основе PBIB- и BIB-схем; г) методом теории конечных полей; д) методом

преобразования симметричных планов в соответствующие несимметричные.

Кроме перечисленных планов следует отметить планы, обеспечивающие оценку не только исследуемых факторов и их взаимодействий, но также и эффекты последовательности воздействия факторов. При использовании планов каждый объект испытывается всеми к факторами, варьируемыми на двух уровнях A — наличие фактора, 0 — его отсутствие) в определенной последовательности и измерение выходного показателя производится после

каждого воздействия

число объектов, которые подвергались воздействию только одной определенной последовательностью замеров на объекте, к=1, . . ., р!—число возможных сочетаний последовательностей,м— оценка средней, — конечный

эффект воздействия на объект факторов, приложенных в определенной к-й последовательности, — эффект последовательности приложения факторов, е — случайная ошибка измерений.

К этому же классу можно отнести также планы для оценки

остаточных эффектов, перекрестные (cross-over) планы, планы с группировкой и планы с расщепленными делянками, которые обычно

рассматриваются в группе планов дисперсионного анализа [4—7]

Билет 8

1.W-критерий проверки нормальности распределений.

Лекция 04.03.2011

W-критерий обладает следующими тремя достоинствами:

1) он применим когда число наблюдений 3 и больше n>=3

2) требует минимальный объем вычислений

3) является самым мощным критерием для решения поставленной задачи, т.е он минимизирует частоту неверных заключений, когда имеющееся соответствие наблюдаемого распределения выбранному теоретическому принимается за несоответствие и наоборот.

4 этапа, которые мы рассмотрим на примере проверки соответствия 5 результатов n=5:

15, 12, 9, 11, 13

1) исходные данные 9<11<12<13<15 упорядочивают в едином ряду от меньшего к большему

2) вычисляют сумму квадратов отклонений результатов от их среднего, которую легче вычислить без вычисления самого среднего по формуле мат статистики

3) вычисляют параметр

Как сумму разностей членов упорядоченного ряда взятых справа и слева с коэффициентом «а» из вспомогательных таблиц к W-критерию.

В случае если выборка содержит нечетное число, то срединный член упорядоченного ряда в вычислениях не участвует.

4) вычисляется

В данном случае оно больше табличного, следовательно исходные данные подходят к нормальному распределению.

- Существенно, что положительный результат о соответствии наблюдаемого распределения выбранному теоретическому, когда расчетное значение W больше соответствующего табличного. (в отличие от когда меньше)

- Уровень значимости альфа для самой строгой проверки соответствия экспериментально выбранного теоретического выбираем альфа=0,5

2.Построение статистических моделей в задачах с неаддитивным дрейфом.

Если дрейф аддитивный, то поверхность отклика смещается во времени, не деформируясь. При неаддитивном дрейфе поверхность отклика во времени деформируется.

Результаты эксперимента, реализованного в условиях полиномиального дрейфа порядка L, представляются в виде следующей модели:

Здесь - изменение свободного члена -определяет смещение поверхности отклика во времени, а коэффициенты bi – ее наклон в исследуемой области.

Эффекты дрейфа определяют с помощью таблиц полинома Чебышева по формулам

Эффекты исследуемых факторов вычисляют по обычным формулам ортогонального планирования

Для проведения дисперсионного анализа вычисляют:

1. общую сумму квадратов

2. Суммы квадратов для эффектов дрейфа

3. суммы квадратов для исследуемых факторов

4. Остаточную сумму квадратов

Суммарные данные дисперсионного анализа сводятся к таблице