Вопрос 2. Смеси жидкости с твёрдыми частицами

Принципиальное отличие подобных систем от газо – жидкостных смесей состоит в том, что размеры и физические свойства дисперсной фазы (твёрдых частиц) постоянны во времени и они стремятся самопроизвольно осесть, а не всплыть.

Стационарное течение

Рассмотрим простейший случай вертикального движения смеси с настолько малой скоростью, что трением о стенки можно пренебречь.

Тогда, скорость дрейфа ( ) можно определить с помощью зависимости:

(398)

где: - истинное объёмное содержание жидкой фазы;

- предельная скорость осаждения одиночной частицы в бесконечно большом объёме неподвижной жидкости;

- эмпирический показатель степени;

- приведённая скорость твёрдых частиц:

(399)

где: - линейная скорость движения твёрдых частиц.

Величина может быть определена из баланса сил тяжести и сопротивления, который для сферической частицы диаметром ( ) может быть выражен соотношением:

(400)

где: - коэффициент сопротивления, зависящий от , определяемого по формуле:

(401)

Определение сводится к осуществлению нескольких графо – аналитических операций:

Прежде всего вычисляют величину:

(402)

П осле этого, по графику (рис.49) находят , ну, а зная его, легко определить и .

Рис.49. Изменение величины ^{. 2} в зависимости от

для сферических частиц.

Если  1000, то для определения коэффициента сопротивления можно воспользоваться и такой зависимостью:

(403)

Если > 1000, то

Величина показателя степени ( ) может быть определена из следующих соотношений:

Если  0,2, то :

(404)

Если: 0,2 <  1, то:

(405)

Если: 1 < 200, то:

(406)

Если: 200 <  500, то:

(407)

Если: 500 < , то:

Намного большие значения ( ) могут быть получены для конгламератов частиц. Эти величины определяют исключительно экспериментальным путём.

Общая сила, необходимая для удержания частицы объёмом в потоке, с одной стороны, равна:

(408)

где: - суммарная сила, действующая на частицы:

(409)

где: - сила, обусловленная действием жидкости на частицу;

- сила, обусловленная действием на частицу других частиц:

(410)

(411)

где: - приведённая скорость жидкости, определяемая в данном случае по формуле:

(412)

- приведённая скорость частиц, определяемая в данном случае по формуле:

(413)

С другой стороны:

(414)

где: - характерное поперечное сечение частицы;

- коэффициент сопротивления для заданного .

Однако, приравнивая правые части уравнений (414) и (408) определить искомый перепад давления ещё невозможно, т.к. неясно как рассчитать и .

Что касается коэффициента сопротивления, то его можно определить по зависимости:

(415)

Величина может быть вычислена по тем же зависимостям, что и с той лишь разницей, что вместо в формулах используется , вычисляемый по формуле:

(416)

Величина приведённой скорости может быть определена по зависимости:

(417)

где:

(418)

Функция может быть определена как:

При :

(419)

При < ^

(420)

Приравнивая теперь правые части уравнений (414) и (408) можно определить перепад давления.

Найденный таким образом перепад давления обеспечивает лишь удержание частиц в потоке жидкости (т.е. отсутствие оседания), но ещё не является истинными потерями давления, т.к. до сих пор трением о стенки мы пренебрегали.

Прежде чем перейти к определению потерь давления на трение сделаем допущение, что мы имеем дело с однородным псевдоожиженным слоем, т.е. частицы равномерно распределены в жидкости и имеют свободу перемещения.

В вертикальных трубопроводах возможны три случая:

1. Частицы неподвижны и не псевдоожижены, а жидкость их обтекает, не увлекая за собой.

Тогда:

(421)

где: коэффициент сопротивления может быть определен по следующим зависимостям:

Если , то:

(422)

Если: > , то:

(423)

где:

(424)

2. Частицы псевдоожижены, но с жидкостью ещё не перемещаются:

(425)

3. Частицы псевдоожижены и перемещаются с жидкостью:

(426)

Рассмотрение трубопроводов, угол отклонения оси которых от вертикали отличен от нуля, выходит за рамки программы.

Нестационарное течение

Ограничимся лишь рассмотрением простейшего случая нестационарного течения – отстоя при отсутствии перемещения жидкости.

Типичный процесс осаждения частиц из первоначально однородной суспензии развивается следующим образом (рис.50):

Вначале, во всём объёме содержится однородная двухфазная смесь . При оспждении в верхней части появляется чистая жидкость , а в основании плотный осадок . Между областями и часто существует зона где концентрация частиц неравномерна. Если частицы имеют почти одинаковые размеры, то между слоями и образуется резкая граница, которая перемещается со скоростью оседающих частиц. Между областями и

может существовать четкая граница раздела, но может и отсутствовать.

Р ис.50. Типичное развитие процесса периодического осаждения

а – физическая картина; в – высота поверхности раздела в функции от времени

В конце концов верхняя и нижняя границы раздела сливаются и область исчезает. После этого происходит медленное сжатие или уплотнение областей и до достижения максимальной плотности осевшего слоя.

Математическая теория подобного процесса разработана Кинчем. Согласно его воззрениям процесс отстоя может быть графически описан зависимостью от , где в данном случае:

(427)

1 вариант:

Возможен непосредственный скачкообразный переход от исходного значения к конечному значению .

Для этого случая существует две возможные формы кривых (рис.51 и 52):

Рис.51. Первый случай скачкообразного перехода концентраций

Их принципиальное отличие состоит в том, что в одном случае хорда, стягивающая значение с точкой на кривой, отвечающей начальному значению , пересекает данную кривую, а в другом случае кривая остаётся непересечённой.

Поверхность раздела зон и движется со скоростью, определяемой , а поверхность раздела зон

и перемещается со скоростью, определяемой .

Р ис.52. Второй случай скачкообразного перехода концентраций

Для второй формы кривой данный тип осаждения возможен только в случае, когда < или

> , т.е. когда хорда не пересекает кривую.

2 вариант.

Непосредственный скачкообразный переход от к невозможен.

Для этого случая существует только одна возможная форма кривой, но в зависимости от возможны два варианта ситуации:

П ервый вариант характеризуется тем, что кривая в точке обращена выпуклостью вверх (рис.53):

Рис.53. Первый вариант перехода концентраций при невозможности скачка

В этом случае скорость перемещения границы между зонами и ( ) равна ; скорость перемещения границы между зонами и ( ) равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, проведённой из точки в точку, соответствующую , т.е. самую экстремальную точку вогнутой части кривой ( ). Скорость перемещения границы между зонами и равна , т.е. угла наклона касательной, проведённой к точке кривой, соответствующей ( ).

Для рассмотренного случая кинетика распределения зон по высоте может быть проиллюстрирована рис.54.

Область - чистая жидкость ( )

Р ис.54. Номограмма соотношений между зонами

Область - начальное значение концентрации ( );

Область - промежуточная концентрация от до ;

Область - конечная концентрация осадка .

Т.к. на границе раздела не происходит скачкообразного изменения объёмной концентрации частиц эта поверхность практически может не наблюдаться.

Более того, зона распространяется в зону и при достижении границы зона исчезает. При этом, скачек концентрации от (зона ) до текущего (зона ) естественно увеличивается, а изменение его во времени замедляется. Точнее говоря, зона исчезает не только за счет внедрения в неё зоны , но и поджимания её зоной , которая после исчезновения зоны теснит уже зону . Одновременно сама зона поджимается снизу зоной и после совмещения поверхностей раздела и процесс осаждения завершается.

В торой вариант характеризуется тем, что кривая в точке обращена выпуклостью вниз (рис.55):

Рис.55. Второй вариант перехода концентраций при невозможности скачка

В этом случае между областями и имеет место скачек объёмной концентрации частиц и образуются три отчетливые поверхности раздела. Скорость перемещения границы между зонами и ( ) определяется тангенсом угла наклона касательной, проведённой из точки, соответствующей , к минимальной точке кривой без её пересечения ( ). Скорость определяется тангенсом угла наклона касательной, проведённой из точки к самой экстремально вогнутой точке кривой без её пересечения ( ). Когда, поверхности раздела и совместятся, область исчезнет и в дальнейшем происходит уплотнение области до полного завершения осаждения. Для этого случая кинетика распределения зон по высоте аналогична предыдущему случаю.

До сих пор мы считали, что процесс осаждения заканчивается при достижении значения . В действительности осевший слой твёрдых частиц способен к дальнейшему уплотнению, происходящему под действием давления столба жидкости и осадка, описываемому уравнением:

(428)

где: первое слагаемое – градиент давления жидкости по высоте;

второе слагаемое – градиент давления осадка по высоте слоя.

(429)

где: - поверхностное натяжение на границе частица – жидкость.

Поведение осадка, уплотняющегося до значений > , можно описать с помощью уравнения:

(430)

где:

(431)

Практическое занятие № 15