.4. Оценка параметров уравнения ножественной регрессии

Параметры уравнения множественной регрессии оценивают- , как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов МНК). При его применении строится система нормальных авнений, решение которой и позволяет получить оценки пара-

етров регрессии.

2 р•

е

Так, для уравнения у = а + Ь_х • х_х + Ь₂ • х₂ + ... + Ь_р ■ х_р + е сис- ма нормальных уравнений составит:

ТУ'* 1 = ⁺

1.У-Хр=а-Т.х_р + Ь\ •!Lx_x-x_p+b₂-Y,x_rx_p+...+b_p-Y_dx

Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

А — определитель системы; Дд, АЬ_р - частные определители.

ри этом

105

X Хр Y<X_XX_p ... Y*X

_pа Аа, ДЬ_х ДЬ_р получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Возможен и иной подход к определению параметров множе­ственной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффи­циентов корреляции строится уравнение регрессии в стандарти­зованном масштабе:

У — у Xj- X:

где t_y> t_x ,t_x - стандартизованные переменные: t_y « , t_Xi - —Н

^{1 р a}x_f

для которых среднее значение равно нулю: Т_у Т_х.^m О, а среднее квадратическое отклонение равно единице:

_а ш

Iу г_х »

р - стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобра­зований получим систему нормальных уравнений вида

"Pi ⁺p2'*je₂x, ⁺Рз +- + Рр &_хрх_х>

^Ryx₂-р|'*ед⁺р2 ⁺Рз ^JC3JC₂⁺Рд

^Ryx, = Р| '+Р2 + Рз йх_}х, +- + Р/Г

Решая ее методом определителей, найдем параметры — стан­дартизованные коэффициенты регрессии (/^коэффициенты).

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответст­вующий фактор x_f изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все перемен­ные заданы как центрированные и нормированные, стандартизо­ванные коэффициенты регрессии Д сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по си­ле их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от ко­эффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Пример. Пусть функция издержек производства у (тыс. руб.) характеризуется уравнением вида

106

у = 200+ 1,2 - JC| + 1,1 -х₂ + е,

e x, — основные производственные фонды (тыс. руб.); х_г — численность занятых в производстве (чел.).

I

Анализируя его, мы видим, что при той же занятости допол- тельный рост стоимости основных производственных фондов а 1 тыс. руб. влечет за собой увеличение затрат в среднем на 1,2 с. руб., а увеличение численности занятых на одного человека особствует при той же технической оснащенности предприя- й росту затрат в среднем на 1,1 тыс. руб. Однако это не означа- , что фактор jc, оказывает более сильное влияние на издержки изводства по сравнению с фактором х₂. Такое сравнение воз- "жно, если обратиться к уравнению регрессии в стандартизо- нном масштабе. Предположим, оно выглядит так:

t_y = 0,5 • t_X{ + 0,8 • t_v

I

Это означает, что с ростом фактора jc, на одну сигму при не- менной численности занятых затраты на продукцию увеличи- ются в среднем на 0,5 сигмы. Так как < /^(0,5 < 0,8), то мож- о заключить, что большее влияние оказывает на производство дукции фактор х₂, а не как кажется из уравнения регрессии натуральном масштабе.

В парной зависимости стандартизованный коэффициент рег- ссии есть не что иное, как линейный коэффициент корреляции Подобно тому, как в парной зависимости коэффициенты рег- ссии и корреляции связаны между собой, так и во множествен- й регрессии коэффициенты «чистой» регрессии b_t связаны со ндартизованными коэффициентами регрессии Д, а именно:

ЭКОНОМЕТРИКА 1

1 - и,Уо2 66

а-у -Ь- х, 71

с, == д + v + А * 1 + ^е> 35

Л, Х₂ *₃ = ^{а +} V + V *2 + V х₃, 48

У*~ I / =U,40J, 16

— = />, + ^—£- + 6* Х_х X, Xj 29

4.4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРУКТУРНОЙ МОДЕЛИ 53

( у, -0,373*2 0,852 57

4.5. ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 67

С, =Оо+Я, 'К + ^+е1» /Л/, = ^о • Y_t +к₂ • +е₃, 78

4.6. ПУТЕВОЙ АНАЛИЗ 82

» /ГЛАВА 98

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ 98

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ¹ 98

5.1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА 98

5.2. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ 119

у, = я + А • X, + /V + «г (б-²⁷) 199

Zo = JC_r + x,_, + x,_₂ + x,_₃ + x,_4; 242

^A=(1-f>Jrf-p <⁷⁶⁰> 296

у = а + Ь_х • х_{ + Ь₂ • х₂ + ... + Ь_р • х_г

107

Параметр а определяется как

а—у — b_x -х, — b₂-'X ₂—... — ft^'X^. (3.3)

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов — из модели исключаются факторы с наименьшим значением Pj.

Компьютерные программы построения уравнения множест­венной регрессии в зависимости от использованного в них алго­ритма решения позволяют получить либо только уравнение рег­рессии для исходных данных, либо, кроме того, уравнение рег­рессии в стандартизованном масштабе.

При нелинейной зависимости признаков, приводимой к ли­нейному виду, параметры множественной регрессии также опре­деляются МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным. Так, рас­сматривая степенную функцию

у = а-х,^А1 - х₂^ь* ... х_р^ьр • г,

мы преобразовываем ее в линейный вид:

lgy = lgа + ft, • IgXj + Ь_г • lgx₂ + ... + b_p • lgx_p + Ige,

где переменные выражены в логарифмах.

Далее обработка МНК та же, что и описана выше: строится система нормальных уравнений и определяются параметры lgа, Ь_{, Ь₂,Ь_р. Потенцируя значение Iga, найдем параметр а и соот­ветственно общий вид уравнения степенной функции.

Поскольку параметры степенной функции представляют со­бой коэффициенты эластичности, то они сравнимы по разным факторам.

Пример. При исследовании спроса на масло получено следу­ющее уравнение:

lgy = - 1,25 - 0,858 ■ lgXj + 1,126 • lgx₂ + е,

где у — количество масла на душу населения (кг);

х_{ - цена (руб.);

х₂ - доход на душу населения (тыс. руб.).

108

Анализируя уравнение, видим, что с ростом цены на 1 % при том же доходе спрос снижается в среднем на 0,858 %, а рост дохо­да на 1 % при неизменных ценах вызывает увеличение спроса в среднем на 1,126 %. В виде степенной функции данное уравнение примет вид:

у = 0,056 • х,^70,858 * х₂~^|,!26 "

При других нелинейных функциях методика оценки парамет­ров МНК осуществляется так же. В отличие от предыдущих функций параметры более сложных моделей не имеют четкой экономической интерпретации: они не являются показателями силы связи и ее эластичности. Это не исключает возможности их применения, но делает их менее привлекательными в практиче­ских расчетах.